एक सकारात्मक पूर्णांक क्या है? इतिहास, गुंजाइश, विशेषताओं

मठ छठी शताब्दी ईसा पूर्व के बारे में सामान्य दर्शन से अलग कर दिया। ई।, और उस पल से यह दुनिया भर में अपने विजयी जुलूस शुरू हुआ। , सूत्र, भ्रामक हो गया विकसित की एक प्राथमिक खाते, अवकलन और समाकलन कलन, बारी-बारी सदी में तब्दील हो और आ एक समय था जब - विकास के हर चरण के लिए कुछ नया लाया "सबसे कठिन गणित की शुरुआत -। यह सभी नंबरों से गायब हो गया" लेकिन क्या पीछे रखना?

प्रारंभिक बिंदु

प्राकृतिक संख्या पहले गणितीय क्रियाओं साथ एक सममूल्य पर थे। एक बार जब वापस, दो वापस, तीन रीढ़ ... वे भारतीय वैज्ञानिक ने ही सबसे पहले स्थितीय लाया करने के लिए धन्यवाद दिखाई दिया संख्या प्रणाली। शब्द "स्थितीय" का मतलब है कि एक संख्या में प्रत्येक अंक के स्थान का सख्ती से परिभाषित किया और अपनी श्रेणी से मेल खाती है। उदाहरण के लिए, संख्या 784 और 487 - संख्या में एक ही है, लेकिन संख्या में एक ही रूप में पूर्व 7 सैकड़ों शामिल हैं, जबकि दूसरा नहीं हैं - केवल 4. अभिनव भारतीयों अरब, जो प्रजातियों कि हम जानते हैं की संख्या लाया उठाया अब।

प्राचीन समय में, संख्या रहस्यमय महत्व दिया, सबसे महान गणितज्ञ पाइथागोरस विश्वास था कि संख्या बुनियादी तत्वों के साथ एक सममूल्य पर निर्माण के मूल में है - अग्नि, जल, पृथ्वी, वायु। अगर हम गणितीय पक्ष के साथ सब केवल विचार करें, तो वह एक सकारात्मक पूर्णांक है? प्राकृतिक संख्या के क्षेत्र एन के रूप में निरूपित और, संख्या है कि सकारात्मक पूर्णांक हैं और 1, 2, 3 की एक अनंत श्रृंखला है ... + ∞ है। शून्य बाहर रखा गया है। मुख्य रूप से आइटम की गणना के लिए इस्तेमाल किया और आदेश निर्दिष्ट करें।

एक क्या है प्राकृतिक संख्या गणित के क्षेत्र में? Peano के एक्सिओम्स

फील्ड एन स्थान है जहाँ पर प्राथमिक गणित टिकी हुई है। समय के साथ, अलग-थलग क्षेत्र पूर्णांकों, परिमेय संख्याओं, जटिल संख्या।

इतालवी गणितज्ञ Dzhuzeppe Peano संभव गणित के आगे संरचना बनाया का काम है, उसकी औपचारिकताओं बना दिया है और आगे निष्कर्ष है कि क्षेत्र क्षेत्र एन से परे जाने के लिए जमीन तैयार किया है क्या एक प्राकृतिक संख्या है, यह सरल भाषा में पहले से पाया गया है है, निम्नलिखित Peano axioms के एक गणितीय परिभाषा के आधार पर विचार किया जाएगा।

• यूनिट एक प्राकृतिक संख्या के रूप में माना जाता है।
• संख्या कि प्राकृतिक संख्या इस प्रकार है, एक स्वाभाविक है।
• इकाई से पहले कोई प्राकृतिक संख्या है।
• संख्या ख दोनों नंबर सी, और डी की संख्या है, तो ग = घ होना चाहिए।
• प्रेरण के स्वयंसिद्ध, जो बारी में पता चलता है एक प्राकृतिक संख्या, अगर एक बयान है कि एक पैरामीटर पर निर्भर करता है नंबर 1 के लिए सच है, तो हम मान लेते हैं कि यह है कि यह प्राकृतिक संख्या एन के क्षेत्र के एन संख्या के लिए काम करता है तो फिर जोर n के लिए सच है प्राकृतिक संख्या एन के क्षेत्र से = 1

प्राकृतिक संख्या के एक क्षेत्र के लिए बुनियादी संचालन

के बाद से क्षेत्र एन गणितीय गणना करने के लिए पहली बार था, यह परिभाषा के डोमेन, और लेन-देन के मान से नीचे क्षेत्र के रूप में माना जा रहा है। वे बंद कर दिया और कोई कर रहे हैं। मुख्य अंतर यह है कि आपरेशन क्या संख्या शामिल कर रहे हैं की परवाह किए बिना सेट एन के भीतर एक बंद परिणाम छोड़ने के लिए, की गारंटी है है। यह पर्याप्त है कि वे प्राकृतिक रहे हैं। शेष संख्यात्मक बातचीत के परिणाम के रूप में सरल नहीं है और कहा कि अभिव्यक्ति में शामिल लोगों के लिए इस तथ्य पर निर्भर करता है, के रूप में यह मूल परिभाषा के विपरीत हो सकता है। इस प्रकार, बंद कर दिया आपरेशन:

• इसके अलावा - x + y = z, जहां एक्स, वाई, जेड क्षेत्र एन से है;
• गुणा - एक्स * y = z, जहां एक्स, वाई, जेड क्षेत्र एन से है;
• घातांक - एक्स ^वाई, जहां एक्स, वाई एन फील्ड से है

शेष संचालन, जिनमें से परिणाम संदर्भ के रूप में निम्नानुसार "है कि एक प्राकृतिक संख्या है" के निर्धारण में मौजूद नहीं कर सकते हैं:

• घटाव - एक्स - y = z। फील्ड प्राकृतिक संख्या यह केवल अगर लंबे समय तक एक्स y अनुमति देता है;
• विभाजन - x / y = z। फील्ड प्राकृतिक संख्या यह अनुमति देता है केवल अगर z समान रूप से y कोई अवशेषों, अर्थात से विभाजित है।

संख्याओं के गुण, क्षेत्र एन से संबंधित

सभी आगे गणितीय तर्क इन गुणों, सबसे छोटी है, लेकिन कम महत्वपूर्ण नहीं के आधार पर की जाएगी।

• इसके अलावा के विनिमेय संपत्ति - x + y = y + x, x की संख्या, वाई बॉक्स एन या में शामिल प्रसिद्ध "से राशि का स्थानांतरण नहीं बदला गया है।"
• गुणा के विनिमेय संपत्ति - एक्स * y = y * एक्स, जहां संख्या एक्स, वाई एन फील्ड से है
• इसके अलावा के साहचर्य संपत्ति - (x + y) + z = x + (y + z), जहां एक्स, वाई, जेड एन फील्ड से है
• गुणन का साहचर्य संपत्ति - (एक्स * वाई) * z = x * (y * जेड) है, जहां संख्या एक्स, वाई, जेड एन फील्ड से है
• वितरणात्मक संपत्ति - एक्स (y + z) = x * y + x * z, जहां संख्या एक्स, वाई, जेड एन फील्ड से है

पाइथागोरस की तालिका

प्राथमिक गणित संरचनाओं भर छात्रों के ज्ञान के बाद वे खुद को क्या संख्या प्राकृतिक कहा जाता है के लिए समझ में पहला कदम था, पाइथागोरस के एक टेबल है। यह न केवल विज्ञान की दृष्टि से, लेकिन यह भी एक अमूल्य वैज्ञानिक स्मारक के रूप में माना जा सकता है।

यह गुणन तालिका समय के साथ परिवर्तन का एक नंबर आया है: यह शून्य से हटा दिया गया था, और 1 से 10 के नंबरों को खुद के लिए खड़े हो जाओ, परिमाण (सैकड़ों, हजारों ...) को छोड़कर। संख्या और सामग्री चौराहे के कोशिकाओं के अपने स्वयं के उत्पाद के बराबर है - यह एक मेज जिसमें पंक्तियों और स्तंभों की खिताब है।

पिछले कुछ दशकों के प्रशिक्षण के व्यवहार में "क्रम में" पाइथागोरस तालिका सीखने, वह है, पहले याद पर चला गया के लिए जरूरत नहीं थी। गुणा 1 हटा दिया गया था, के बाद से परिणाम 1 या अधिक से अधिक कारक के बराबर है। इस बीच, तालिका में नग्न आंखों पैटर्न के साथ देखा जा सकता है: संख्याओं का गुणनफल एक कदम है, जो बराबर शीर्षक स्ट्रिंग है द्वारा बढ़ रही है। इस प्रकार, दूसरा कारक हमें पता चलता है कि आप कितनी बार, पहले लेने के लिए आदेश वांछित उत्पाद प्राप्त करने के लिए की जरूरत है। इस प्रणाली को और अधिक सुविधाजनक एक है कि मध्य युग में प्रचलित था के विपरीत है: यहां तक कि जानते हुए भी कि एक सकारात्मक पूर्णांक है, और कैसे यह मामूली बात है, लोगों को खुद के लिए एक प्रणाली है कि दो की डिग्री के आधार पर किया गया था का उपयोग करके हर रोज को मुश्किल में कामयाब रहे।

गणित का उद्गम स्थल के रूप में एक उप समूह

फिलहाल, प्राकृतिक संख्या एन के क्षेत्र केवल जटिल संख्याओं के सबसेट से एक के रूप में माना जाता है, लेकिन यह विज्ञान के क्षेत्र में उन्हें कम मूल्यवान नहीं है। प्राकृतिक संख्या - पहली बात यह है कि एक बच्चे खुद को और हमारे आसपास की दुनिया का अध्ययन करके सीखता है। एक बार एक उंगली, दो उंगली ... उसे के लिए धन्यवाद, एक आदमी तार्किक सोच द्वारा गठित है, साथ ही कारण है और उत्पादन के परिणाम का निर्धारण करने की क्षमता, बड़े खोजों के लिए मार्ग प्रशस्त हुआ।