समस्याएं समीकरण द्वारा हल किया जाना है। गणित के क्षेत्र में समस्याओं के समाधान के

गणित के उद्देश्यों को पूरा करने के लिए आवश्यक के स्कूल के पाठ्यक्रम में। कुछ कुछ चरणों में वश में कर रहे हैं, दूसरों को एक निश्चित पहेली की आवश्यकता है।

समस्याओं को हल किया जा करने के लिए केवल पहली नजर मुश्किल में, समीकरण द्वारा। आप अभ्यास करते हैं, प्रक्रिया स्वचालित करने के लिए चला जाता है।

ज्यामितीय आकार

आदेश प्रश्न समझने के लिए, आप कोर को पाने के लिए की जरूरत है। ध्यान से हालत का अर्थ समझ, यह कई बार फिर से पढ़ने के लिए बेहतर है। केवल पहली नजर मुश्किल में समीकरण के लिए चुनौतियां। एक उदाहरण पर विचार के लिए सबसे आसान शुरू करने के लिए।

दान आयत, वह अपने क्षेत्र को खोजने के लिए आवश्यक है। यह देखते हुए: चौड़ाई 48% आयत की परिधि की लंबाई से कम में 7.6 सेंटीमीटर है।

समस्या को हल करने के लिए गणित में सावधान vchityvaniya, तर्क की आवश्यकता है। साथ में, हमें इसके साथ सौदा करते हैं। क्या आप सब से पहले की जरूरत पर विचार करना? हम एक्स की लंबाई को दर्शाते हैं। इसलिए, इस समीकरण में, चौड़ाई 0,52h हो जाएगा। 7.6 सेंटीमीटर - हम परिधि दिया जाता है। हम अर्द्धपरिधि, इस 7.6 सेंटीमीटर 2 से विभाजित पाते हैं, यह 3.8 सेंटीमीटर के बराबर है। हम समीकरण है जिसके द्वारा हम लंबाई और चौड़ाई को खोजने मिल गया है:

0,52h + x = 3.8।

जब हम एक्स (लम्बाई) मिलता है, यह खोजने के लिए और 0,52h (चौड़ाई) करने के लिए आसान है। हम इन दो मानों को जानते हैं, हम मुख्य सवाल का जवाब पाते हैं।

समस्याएं समीकरण द्वारा हल किया जा करने के लिए, कि हम पहले उदाहरण से समझ सकते हैं, के रूप में मुश्किल वे लग रहे हैं के रूप में नहीं है। हम लंबाई एक्स = 2.5 सेमी, चौड़ाई (y oboznchim) 0,52h पाया है = 1.3 सेमी। क्षेत्र के लिए ले जाएँ। यह सरल फार्मूला एस = x * y (आयतों के लिए) है। हमारी समस्या में एस = 3,25। इस उत्तर हो जाएगा।

के अंतरिक्ष की खोज के साथ समस्याओं के हल के उदाहरणों को देखते हैं। और इस समय, हम आयत ले। परिणिति, क्षेत्र, अलग-अलग आंकड़े अक्सर खोजने में गणित में समस्याओं के समाधान के। हम समस्या का बयान पढ़ें: एक आयत को देखते हुए इसकी लंबाई 3.6 सेंटीमीटर अधिक चौड़ाई है, जो आंकड़ा की परिधि का 1/7 है। आयत के क्षेत्रफल का पता लगाएं।

यह चर x चौड़ाई, और (x + 3.6) सेंटीमीटर की लंबाई को नामित करने के लिए सुविधाजनक हो जाएगा। हम परिधि पाते हैं:

पी = 2 + 3.6।

हम समीकरण को हल नहीं कर सकते, क्योंकि हम यह दो चर में है। इसलिए, हम फिर से हालत देखो। इसमें कहा गया है कि चौड़ाई परिधि के 1/7 के बराबर है। हम समीकरण प्राप्त:

1/7 (2 + 3,6) = एक्स।

समाधान की सुविधा के लिए हमने 7 से समीकरण के दोनों ओर गुणा, तो हम अंश से छुटकारा मिलता है:

2 + 3.6 = 7x।

हम समाधान एक्स (चौड़ाई) = 0.72 सेमी करने के बाद। चौड़ाई, लंबाई खोजने को जानने का:

0,72 + 3,6 = 4,32 सेमी।

अब हम लंबाई और चौड़ाई क्या एक आयत का क्षेत्रफल है का मुख्य प्रश्न से संबंधित पता है।

एस = x * y, एस = 3.1104 सेमी।

दूध के डिब्बे

समस्याओं को सुलझाने समीकरण का प्रयोग कर तथ्य यह है कि इस मुद्दे को चौथी कक्षा में शुरू होता है के बावजूद, स्कूल में कठिनाइयों का एक बहुत का कारण बनता है। ऐसे कई उदाहरण हम आंकड़े, अब ज्यामिति से थोड़ी पीछे हटना के क्षेत्रों के निर्धारण में विचार किया जा सकता है। चलो टेबल की तैयारी के साथ एक सरल कार्य देखते हैं, वे नेत्रहीन करने में मदद: के रूप में डेटा अधिक दिखाई सुलझाने में मदद करने के लिए।

बच्चों समस्या की हालत पढ़ सकते हैं और समीकरण संकलन मदद करने के लिए एक चार्ट बनाने के लिए आमंत्रित करें। यही कारण है कि शर्त है: वहाँ दो डिब्बे, दूसरे की तुलना में पहले तीन गुना अधिक दूध है। प्रथम, द्वितीय में पांच लीटर डाला, तो दूध समान रूप से विभाजित किया जाएगा। प्रश्न: कितने प्रत्येक में दूध के डिब्बे?

एक तालिका बनाने के लिए जरूरत के समाधान में मदद करने के लिए। यह कैसे की तरह दिखना चाहिए?

निर्णय

	यह था	यह बन गया
1 के कर सकते हैं	3	3 - 5
2 डिब्बे	एक्स	x + 5

कैसे समीकरण का प्रारूप तैयार करने में इस मदद करता है? हम जानते हैं, समीकरण इसलिए के रूप में किया जाएगा इस प्रकार है कि एक परिणाम के रूप दूध बराबर था:

3 - 5 + एक्स = 5;

2 = 10;

एक्स = 5।

हमने पाया दूसरे में दूध मथनी की प्रारंभिक राशि बनाने के लिए, तो पहली बार था: 5 * 3 = 15 दूध की लीटर।

अब, ड्राइंग मेज पर एक छोटे से स्पष्टीकरण।

हम क्यों कर रहे हैं एक कर सकते हैं के पहले लेबल 3: हालत में निर्धारित है कि दूध में तीन बार दूसरे डिब्बे की तुलना में कम है। फिर हम पढ़ा है कि लीक के डिब्बे के पहले 5 लीटर, इसलिए 3 बने - 5, और दूसरा डाला: x + 5। क्यों हम दो शब्दों के बीच बराबर के चिह्न रख सकता हूं? समस्या की शर्तों कहा गया है कि दूध समान रूप से बन गया है।

तो हम जवाब मिल: पहले कर सकते हैं - 15 लीटर है, और दूसरा - दूध के 5 लीटर।

गहराई का निर्धारण

दूसरे से अधिक 3.4 मीटर की दूरी पर पहले अच्छी तरह से की गहराई: समस्या के अनुसार। पहले अच्छी तरह से 21.6 मीटर की वृद्धि की गयी है, और दूसरा - तीन बार, के बाद इनमें कुओं ही गहराई है। आप की गणना करने के क्या प्रत्येक अच्छी तरह से की गहराई मूलतः था की जरूरत है।

समस्याओं को सुलझाने के तरीके कई हैं, कार्य के समीकरण या अपने सिस्टम का गठन करने के लिए, लेकिन सबसे सुविधाजनक दूसरी पसंद के द्वारा किया जा सकता है। पिछले उदाहरण में के रूप में एक निर्णय sotavim मेज पर जाने के लिए,।

निर्णय

	यह था	यह बन गया
1 अच्छी तरह से	+ 3.4 एक्स	x + 3.4 + 21.6
2 अच्छी तरह से	एक्स	3

हम समीकरण की तैयारी के लिए आगे बढ़ें। के बाद से अच्छी तरह से गहराई में एक ही हो जाते हैं, यह निम्नलिखित रूप है:

x + 3.4 + 21.6 = 3;

एक्स - 3 = -25;

-2x = -25;

एक्स = -25 / -2;

एक्स = 12.5

हम दूसरे को अच्छी तरह से की मूल गहराई, अब पहले मिल सकता है पाया:

12.5 + 3.4 = 15.9 मी।

15.9 मीटर, 12.5 मीटर: के बाद प्रदर्शन कार्रवाई जवाब दर्ज हैं।

दो भाइयों

ध्यान दें कि यह समस्या हालत की वजह से सभी पिछले से अलग है मूल रूप से वस्तुओं के एक ही नंबर था। तदनुसार, सहायक तालिका उलटे क्रम में किया जाता है, यानी, से "बन गए" एक "कर दिया गया है"।

शर्त: दो भाइयों समान रूप से पागल दिया, लेकिन बड़े, उसके छोटे भाई 10 दे दी है के बाद कि युवा पागल पांच गुना ज्यादा था। कितने पागल अब हर लड़के कर रहे हैं?

निर्णय

	यह था	यह बन गया
वरिष्ठ	एक्स + 10	एक्स
छोटा	5x - 10	5x

के बराबर है:

एक्स = 10 + 5x - 10;

-4h = -20;

एक्स = 5 - पागल अपने बड़े भाई था,

5 * 5 = 25 - छोटे भाई।

अब आप इस सवाल का जवाब लिख सकते हैं: 5 पागल; 25 पागल।

क्रय

स्कूल, किताबें और नोटबुक खरीदने की जरूरत है पहले 4.8 रूबल में और अधिक महंगी पीछे नहीं है। आप की गणना करने के लिए कितना एक किताब और एक किताब है, अगर पच्चीस पुस्तकों और एक नोटबुक की खरीद के लिए पैसे की एक ही राशि का भुगतान की जरूरत है।

समाधान के लिए आगे बढ़ने से पहले, निम्न सवालों के जवाब देने के लिए आवश्यक है:

• क्या यह समस्या में है?
• आप कितना भुगतान किया?
• क्या खरीदने के लिए?
• क्या मान एक दूसरे के साथ बराबरी जा सकता है?
• क्या आप जानना चाहते हैं?
• एक्स के लिए ले जाया मूल्य क्या है?

आप सभी सवालों का जवाब है, तो एक निर्णय करने के लिए आगे बढ़ें। इस उदाहरण में, x का मान के रूप में एक नोटबुक की कीमत, और पुस्तकों की लागत के रूप में स्वीकार किया जा सकता है। दो संभव विकल्पों पर विचार करें:

1. एक्स - एक नोटबुक का मूल्य है, तो x + 4.8 - पुस्तक की कीमत। इस आधार पर, हम समीकरण प्राप्त: 5 = 21x (x + 4.8)।
2. एक्स - पुस्तक की लागत, तो x - 4.8 - कीमत नोटबुक। - = 5x 21 (4.8 x): समीकरण रूप है।

आप खुद के लिए एक और अधिक सुविधाजनक विकल्प चुन सकते हैं, तो हम दो समीकरणों को हल करने और जवाब की तुलना करें, एक परिणाम के रूप में, वे एक ही होना चाहिए।

पहली विधि

पहले समीकरण का हल:

5 = 21x (x + 4.8);

4,2h = x + 4.8;

4,2h - एक्स = 4.8;

3.2x = 4.8;

एक्स = 1.5 (रूबल) - एक नोटबुक के मूल्य;

4.8 + 1.5 = 6.3 (रूबल) - एक ही पुस्तक की लागत।

इस समीकरण (आरंभिक कोष्ठक) को हल करने के लिए एक अन्य तरीका:

5 = 21x (x + 4.8);

21x = 5x + 24;

16X = 24;

एक्स = 1.5 (रूबल) - एक नोटबुक के मूल्य;

1.5 + 4.8 = 6.3 (रूबल) - एक ही पुस्तक की लागत।

दूसरा तरीका

5x 21 = (x - 4.8);

5x = 21x - 100.8;

16X = 100.8;

एक्स = 6.3 (रूबल) - 1 पुस्तक के लिए मूल्य;

6.3 - 4.8 = 1.5 (रूबल) - एक नोटबुक की लागत।

उदाहरण से देखा जा सकता है, जवाब समान हैं, इसलिए, समस्या को सही ढंग से हल किया जाता है। सही निर्णय से सावधान रहें, में हमारे उदाहरण जवाब नहीं है नकारात्मक है।

वहाँ भी इस तरह के आंदोलन के रूप में अन्य समस्याओं समीकरण की मदद से हल किया जा करने के लिए, कर रहे हैं। निम्न उदाहरण में अधिक विस्तार से विचार करें।

दो कारों

इस भाग में हम प्रस्ताव कार्यों पर ध्यान दिया जाएगा। उन्हें हल करने में सक्षम होने के लिए, आप निम्नलिखित नियम पता करने की जरूरत:

एस = वी * टी,

एस - दूरी, वी - वेग, टी - समय।

के उदाहरण पर विचार करें।

दो कार बिंदु A से एक साथ छोड़ दिया बी बात करने के लिए पहली बार कुल दूरी एक ही गति से यात्रा की, 24 किमी / घंटा की रफ्तार से यात्रा दूसरा पथ की पहली छमाही, और दूसरा - 16 किमी / घंटा। यह बी बात करने के लिए अगर वे एक ही समय में आया था पहले मोटर यात्री की गति निर्धारित करने के लिए आवश्यक है।

क्या हम समीकरण के संकलन के लिए की जरूरत है: मुख्य चर वी ₁ (पहले कार की गति), मामूली: एस - पथ टी ₁ - कार रास्ते में पहली बार। समीकरण: एस = वी ₁ * टी _1।

इसके अलावा: दूसरे वाहन पथ (एस / 2) की पहली छमाही रफ्तार वी ₂ = 24 किमी / घंटा पर चलाई। एस / 24 * 2 = टी _2: हम अभिव्यक्ति प्राप्त करते _हैं।

पथ यह रफ्तार वी ₃ = 16 किमी / घंटा से कूच के अगले भाग। हम एस / 2 प्राप्त = 16 * टी _3।

इसके अलावा यह हालत से देखा गया है कि वाहनों के साथ-साथ टी ₁ = टी ₂ + T ₃ आ गया, इस _{प्रकार।} अब हम चर टी _1, टी ₂ व्यक्त करने के लिए _है, हमारे पिछले शर्तों के टी _3। हम समीकरण प्राप्त: एस / वी ₁ = (एस / 48) + (/ 32 एस)।

एस इकाई स्वीकार करते हैं और समीकरण को हल:

1 / वी ₁ = _1/48 + 1/32;

1 / वी _{1 = (2/96) + (3/96} ) ;

1 / वी ₁ = 5/96;

वी ₁ = 96/5;

वी ₁ = 19.2 किमी / घंटा।

यह जवाब है। समस्याएं समीकरण द्वारा हल किया जा करने के लिए, पहली नजर में जटिल। ऊपर संकेत दिया समस्या के अलावा काम करने के लिए पूरा कर सकते हैं, क्या यह अगले भाग में चर्चा कर रहा है।

काम काम

काम के इस प्रकार का समाधान करने के लिए आप सूत्र जानने की जरूरत:

एक = वीटी,

जहां एक - उत्पादकता - काम, वी है।

जरूरत के एक अधिक विस्तृत विवरण के लिए एक उदाहरण देते हैं। विषय "समस्या निवारण समीकरण" (ग्रेड 6) इस तरह की समस्याओं को शामिल नहीं कर सकते, क्योंकि यह अधिक कठिन स्तर है, लेकिन फिर भी संदर्भ के लिए एक उदाहरण देता हूँ।

ध्यान से नियमों को पढ़: दो कार्यकर्ताओं को एक साथ काम करते हैं और बारह दिनों के लिए एक योजना बाहर ले जाने के। आप यह निर्धारित करने के लिए कितना समय वही नियम खुद को प्रदर्शन करने के लिए पहले कर्मचारी लेता है की जरूरत है। यह ज्ञात है कि वह दो दिनों के लिए तीन दिन में दूसरा व्यक्ति के रूप में काम की राशि प्रदर्शन करती है।

का समाधान समस्याओं समीकरणों संकलन सावधान पढ़ने की स्थिति की आवश्यकता है। पहली बात यह है कि हम समस्या यह है कि काम से परिभाषित नहीं है से सीखा है, तो, वह यह है कि, एक = 1 एक इकाई के रूप में ले। समस्या भागों, या लीटर की एक निश्चित संख्या को संदर्भित करता है, तो काम इस डेटा से लेना चाहिए।

हम की प्रवाह क्षमता को निरूपित पहली और क्रमश: वी ₁ और वी _2, के माध्यम से सक्रिय इस स्तर पर, संभवतः निम्न समीकरण ड्राइंग दूसरा:

1 = 12 (वी ₁ + V _2)।

क्या इस समीकरण हमें बताता है? यही कारण है कि सभी काम बारह घंटे में दो लोगों द्वारा किया जाता है।

तो हम कह सकते हैं: 2 वी ₁ = 3V _2। क्योंकि पहले एक दो दिनों में तीन की दूसरी जितना करता है। हम समीकरणों की एक प्रणाली है:

12 1 = (V1 + V2);

2 वी = 3V _{1 2।}

प्रणाली के हल के लिए परिणाम के बाद, हम एक चर के साथ समीकरण प्राप्त किया है:

1 - 8V = 12 वी _{1 1;}

वी ₁ = 1/20 = 0.05।

यह पहला काम कर उत्पादकता है। अब हम समय है जिसमें सभी काम पहले व्यक्ति से निपटने के लिए मिल सकते हैं:

एक = वी ₁ * टी _1;

1 = 0.05 * टी _1;

टी ₁ = 20।

के बाद से प्रति इकाई समय दिन अपनाया गया था, जवाब है: 20 दिन।

समस्या का पुनर्निर्माण

आप अच्छी तरह से समस्याओं आंदोलन में, और काम के उद्देश्यों को आप कुछ कठिनाइयां आ रही हैं साथ हल करने के लिए कौशल में महारत हासिल कर रहे हैं, इस पर काम करने के लिए यातायात पाने के लिए संभव है। कैसे? आप पिछले उदाहरण लेते हैं, तो हालत इस प्रकार होगी: ओलेग और दीमा एक दूसरे को ओर बढ़ रहे हैं, वे 12 घंटे के बाद हो। कितने रास्ता स्वयं ओलेग काबू पाने के लिए, यदि आप जानते हैं कि यह दो घंटे उत्तीर्ण एक दूरी बराबर रास्ता दीमा तीन घंटे है।