समीकरण - क्या है यह? परिभाषा, उदाहरण

गणित के स्कूल के पाठ्यक्रम में, बच्चे को पहले कार्यकाल "समीकरण" सुनता है। यह क्या है, एक साथ समझने की कोशिश। इस लेख में हम प्रकार और समाधान के तरीकों पर विचार करें।

गणित। समीकरण

यह क्या है की बहुत धारणा से निपटने के लिए की पेशकश शुरू करने के लिए? के रूप में गणित के कई पाठ्यपुस्तकों में कहा गया है, समीकरण - यह भाव जो बीच आप निश्चित रूप से समानता के हस्ताक्षर करना चाहिए के कुछ है। इन भाव में, वहाँ पत्र, तथाकथित चर, है जिसका मूल्य और पाया जाना चाहिए।

एक चर क्या है? इस प्रणाली विशेषता है कि अपने मूल्य बदल जाता है। चर का एक अच्छा उदाहरण हैं:

• हवा का तापमान;
• बच्चे के विकास;
• वजन और इतने पर।

खोजने के मूल्य समीकरण: गणित में, वे इस तरह के एक्स, एक, ख, ग के रूप में पत्र, द्वारा नामित कर रहे हैं ... आमतौर पर गणित के कार्य इस प्रकार है। इसका मतलब यह है कि आप इन चर के मूल्य खोजने की जरूरत है।

जाति

समीकरण (अर्थात, हम पिछले पैराग्राफ में चर्चा की) निम्न रूप में हो सकता है:

• रैखिक;
• वर्ग;
• घन;
• बीजीय;
• ट्रान्सेंडैंटल।

सभी प्रकार के बारे में अधिक जानने के लिए, प्रत्येक को अलग से विचार करें।

रेखीय समीकरण

यह पहली तरह है, जो स्कूली बच्चों को परिचित है। वे काफी जल्दी और आसानी से हल हो गई। इस प्रकार, रेखीय समीकरण, यह क्या है? फार्म की इस अभिव्यक्ति: एस = c। तो बहुत स्पष्ट नहीं है, तो हम कुछ उदाहरण दे: 2 = 26; 5x = 40; 1.2x = 6।

हमें समीकरणों के उदाहरण पर विचार करें। ऐसा करने के लिए हम अज्ञात एक हाथ पर सभी ज्ञात डेटा एकत्र करने की जरूरत है, और, दूसरे के लिए: x = 26/2; एक्स = 40/5; एक्स = 6 / 1.2। वहाँ गणित के प्राथमिक नियम का इस्तेमाल किया गया: एक * ग = ई, इस ग = ई / एक; एक = ई / एस। समीकरण का समाधान पूरा करने के लिए, हम एक कार्रवाई (इस मामले, प्रभाग में) एक्स = 13 करते हैं; एक्स = 8; एक्स = 5। ये गुणा अब घटाव में देखा जा सकता है और इसके अलावा में उदाहरण थे: x + 3 = 9; 5-10X = 15। ज्ञात डेटा एक ही दिशा में स्थानांतरित कर रहा है: एक्स = 9-3; एक्स = 20/10। हम पिछला कार्य निष्पादित: x = 6; x = 2।

इसके अलावा वेरिएंट रेखीय समीकरण, के संभव हो रहे हैं जहां एक से अधिक चर: 2x-2y = 4। हल करने के लिए है, यह प्रत्येक भाग 2y जोड़ने के लिए आवश्यक है, हम पाते हैं 2x-2y + 2y = 4-2u, के रूप में हम देख चुके हैं, बराबर के चिह्न की बाईं ओर और -2u + 2y कम, इस प्रकार हम साथ छोड़ दिया जाता है: 2x = 4 -2u। अंतिम चरण के विभाजन दो के प्रत्येक भाग में, हम जवाब मिल: एक्स दो घटा y है।

समीकरणों के साथ कोई समस्या Rhind मैथमेटिकल पेपिरस में भी पाए जाते हैं। यही कारण है कि समस्याओं में से एक है: एक्स प्लस एक चौथाई एक्स पंद्रह बराबर है: संख्या और चौथे भाग 15. की कुल इस समस्या को हम निम्न समीकरण लिखने हल करने के लिए देता है। हम का एक और उदाहरण देखते हैं एक रेखीय समीकरण एक्स = 12: कुल समाधान के लिए, हम इस सवाल का जवाब मिलता है। लेकिन इस समस्या को किसी अन्य तरीके से हल किया जा सकता है, अर्थात्, मिस्र, या के रूप में यह अटकलें लगाई जा रही का एक तरीका एक अलग तरीके से कहा जाता है। पेपिरस में निम्नलिखित समाधान का प्रयोग किया: चार लेते हैं और इसे का एक चौथाई, कि एक है। संक्षेप में, वे दे पांच, पंद्रह अब कर रहे हैं योग से विभाजित करने के लिए, हम तीन मिलता है, तीन की अंतिम क्रिया चार से गुणा। पंद्रह पांच को विभाजित से निपटने में 12. हम क्यों कर रहे हैं: हम इस सवाल का जवाब मिल सकता है? इसलिए हम कितनी बार पंद्रह पता लगाना, वह है, जिसके परिणामस्वरूप हम कम से कम पांच पाने के लिए की जरूरत है। इस तरह, हम मध्य युग में समस्याओं, यह गलत स्थिति की विधि के नाम से जाना बन गया हल किया।

द्विघात समीकरण

पहले चर्चा उदाहरण के अलावा, वहाँ दूसरों रहे हैं। कौन सा? द्विघात समीकरण, यह क्या है? वे फार्म कुल्हाड़ी ² + bx + c = 0 है। को हल उन्हें, आप जरूरत के लिए छात्रों को परिचित खुद के साथ कुछ द अवधारणाओं और नियमों।

ख ² -4ac: सबसे पहले, आपको सूत्र के विभेदक खोजने की जरूरत है। वहाँ परिणाम को हल करने के तीन तरीके हैं:

• विभेदक शून्य से अधिक है;
• शून्य से कम;
• शून्य है।

-b + विभेदक दो बार पहले गुणांक से विभाजित की एक जड़, यानी 2 ए: पहले संस्करण में हम दो जड़ों, जो सूत्र के अनुसार कर रहे हैं से जवाब मिल सकता है।

दूसरे मामले में, वहाँ समीकरण के मूल। बी / 2 ए: तीसरे मामले सूत्र की जड़ है।

एक अधिक विस्तृत परिचय के लिए एक द्विघात समीकरण के उदाहरण पर विचार करें: तीन एक्स चौदह एक्स शून्य से चुकता शून्य से पाँच शून्य के बराबर। जैसा कि ऊपर देख विभेदक लिखा है, के साथ शुरू करने के लिए, हमारे मामले में यह 256 नोट के बराबर है कि जिसके परिणामस्वरूप संख्या शून्य से अधिक है, इसलिए, हम दो जड़ों से मिलकर प्रतिक्रिया मिलना चाहिए। स्थानापन्न जड़ों को खोजने के लिए विभेदक सूत्र में प्राप्त की। नतीजतन, हमने: एक्स पांच और शून्य से एक तिहाई के बराबर होती है।

द्विघात समीकरण में विशेष मामलों

ये जिसमें मूल्यों के कुछ शून्य हैं (ए, बी या सी), और संभवतः अधिक उदाहरण हैं।

उदाहरण के लिए, निम्न समीकरण है, जो एक वर्ग है पर विचार, दो एक्स चुकता शून्य के बराबर है, यहाँ हम कि बी और सी शून्य के बराबर हैं। के दो से इसे हल करने, कि दोनों विभाजन के पक्षों के लिए कोशिश करते हैं, हमारे पास है: एक्स ² = 0। नतीजतन, हम x = 0 मिलता है।

एक और मामला 16x ² = 0 -9 है। इधर, केवल ख = 0। 16 x ² = 9, अब कर रहे हैं प्रत्येक भाग सोलह x ² = 9/16 से विभाजित है: हम समीकरण, दाएँ हाथ की ओर करने के लिए नि: शुल्क परिवहन के गुणांक का समाधान। जब से हम x वर्ग है, 9/16 का वर्गमूल या तो नकारात्मक या सकारात्मक हो सकता है। इस सवाल का जवाब इस प्रकार लिखा है: एक्स प्लस / शून्य से तीन तिमाहियों के बराबर है।

संभव है और इस सवाल का जवाब, समीकरण के मूल की तरह नहीं है। हमें निम्न उदाहरण पर नजर डालते हैं: 5 × ² + 80 = 0, जहां ख = 0। निरंतर अवधि हल करने के लिए दाईं ओर फैलता में, निम्न चरणों के बाद, हम पाते हैं: 5x ² = -80, और अब प्रत्येक भाग पाँच द्वारा बांटा गया है: x ² = शून्य से सोलह। अगर किसी भी संख्या चुकता, नकारात्मक मूल्य पर हम पाते हैं। इस पर हमारे जवाब है: वहाँ समीकरण के मूल में।

अपघटन त्रिनाम

द्विघात समीकरण से कार्य किसी अन्य तरीके से लग सकता है: कारकों को ध्यान में द्विघात त्रिनाम विघटित करने के लिए। यह निम्न सूत्र का उपयोग करके किया जा सकता है: एक (एक्स एक्स ₁₎ (एक्स एक्स _2)। इस के लिए, अन्य संदर्भ अवतार में के रूप में, यह आवश्यक एक विभेदक मिल रहा है।

निम्न उदाहरण पर विचार करें: 3x ² -14h -5, mnozheteli त्रिनाम पर विघटित। विभेदक पहले से ही ज्ञात सूत्र का उपयोग कर पता लगाएं, यह 256 पाया गया है अब ध्यान दें कि 256 शून्य से अधिक है, इसलिए, समीकरण दो जड़ों होगा। , उन्हें खोजने के पिछले पैराग्राफ में की तरह, हमने: एक्स = शून्य से पाँच और एक तिहाई। पर अपघटन त्रिनाम के लिए सूत्र का उपयोग mnozheteli 3 (एक्स 5) (x + 1/3)। दूसरे ब्रैकेट में हम एक, बराबर के चिह्न क्योंकि सूत्र लायक ऋण चिह्न है, और जड़ भी नकारात्मक, गणित का बुनियादी ज्ञान का उपयोग कर, राशि में हम धन चिह्न है। (एक्स 5) (x + 1): सादगी के लिए, हम पहली और समीकरण के तीसरे कार्यकाल अंशों से छुटकारा पाने के गुणा।

समीकरण वर्ग को कम करने योग्य

में इस खंड में, हम जानें कि कैसे को हल अधिक जटिल समीकरणों। हम एक उदाहरण के साथ तुरंत शुरू:

(एक्स ² - 2x) ² - 2 (एक्स ² - 2x) - 3 = 0. हम आइटम आवर्ती नोटिस कर सकते हैं: (एक्स ² - 2x) समाधान के लिए सुविधाजनक हमें एक और चर से बदलने के लिए, और फिर साधारण द्विघात समीकरण को हल, तुरंत ध्यान दें कि इस कार्य में हम चार जड़ों प्राप्त, तो यह आपको डराने नहीं करना चाहिए। पुनरावृत्ति चर और इंगित करते हैं। हम एक ² 2A -3 = 0 मिलता है। हमारा अगला कदम - एक नया विभेदक समीकरण मिल रहा है। हम 16 मिलता है, हम दो जड़ों को खोजने: शून्य से एक और तीन। हमें याद है कि हम प्रतिस्थापन किया था, इन मानों को बदल, एक परिणाम के रूप में, हम समीकरण है: एक्स ² - 2x = -1; एक्स ² - 2x = 3। उन्हें पहली प्रतिक्रिया में सुलझाने: एक्स शून्य से एक और तीन: x एक, पीछे नहीं है। लिखें जवाब के रूप में इस प्रकार है: प्लस / ऋण एक और तीन। आमतौर पर, इस सवाल का जवाब आरोही क्रम में लिखा है।

घन

हमें एक और विकल्प पर विचार करें। यह घन समीकरणों के बारे में है। कुल्हाड़ी ³ + bx ² + cx + d = 0: वे प्रपत्र की है। समीकरण के उदाहरण हम आगे विचार, और एक छोटे से सिद्धांत के साथ शुरू करने के लिए। के रूप में वहाँ एक घन समीकरण की विभेदक खोजने के लिए एक सूत्र है वे तीन जड़ें हो सकता है।

3 + ³ 4 ² + 2 = 0: इस उदाहरण पर विचार। इसे कैसे हल करने के लिए? ऐसा करने के लिए, हम सिर्फ बाहर ले कोष्ठक एक्स: एक्स (3 + ² 4 + 2) = 0। हम सभी यह करना है - कोष्ठक में समीकरण के मूल गणना करने के लिए है। कोष्ठक में द्विघात समीकरण के विभेदक शून्य से कम है, इस आधार पर, एक रूट अभिव्यक्ति है: x = 0।

बीजगणित। समीकरण

अगले दृष्टि पर जाएं। अब हम संक्षेप में बीजीय समीकरण पर विचार करें। कार्यों में से एक इस प्रकार है: समूह की विधि mnozheteli 3 ⁴ 2 + ³ + 8 × ² + 2 + 5 पर बाहर फैल गया। (3x ⁴ 3 ²⁾ + (2x ³ + 2) + (5 × ² 5): सबसे सुविधाजनक पद्धति का अनुसरण समूह है। ध्यान दें कि 8 × पहली अभिव्यक्ति से ² हम 3 का योग और ² 5x ² के रूप में प्रस्तुत किया ^है। अब प्रत्येक आम कारक 3 ² (x2 + 1) + 2 (एक्स ² + 1) + 5 (एक्स ² +1) के कोष्ठक बाहर ले। हम देखते हैं कि हम एक आम कारक है: एक्स वन प्लस चुकता कोष्ठक से बाहर इसे बनाने के लिए,: (1 एक्स ²⁾ (3 ² + 2 + 5)। के बाद से दोनों समीकरणों नकारात्मक विभेदक है इसके अलावा अपघटन संभव नहीं है,।

ट्रान्सेंडैंटल समीकरण

अगले प्रकार से निपटने के लिए प्रदान करते हैं। इस समीकरण है, जो दिव्य काम करता है, अर्थात्, लघुगणक, त्रिकोणमितीय या घातीय होते हैं। उदाहरण: 6sin ² एक्स + TGX-1 = 0, x + 5lgx = 3 और इतने पर। वे कैसे हल कर रहे हैं, तो आप त्रिकोणमिति से सीखना होगा।

समारोह

अवधारणा के अंतिम चरण, समीकरण समारोह पर विचार करें। पिछले संस्करणों के विपरीत, इस प्रकार हल नहीं किया जा सकता है, और ग्राफ यह पर आधारित है। इस समीकरण के लिए, निर्माण के लिए सभी आवश्यक अंक खोजने के अधिकतम और न्यूनतम अंक की गणना करने के साथ-साथ, विश्लेषण करने के लिए लायक है।