आधार, पक्ष और पूर्ण: कैसे एक पिरामिड के क्षेत्रफल की गणना के लिए?

गणित के छात्रों में परीक्षा के लिए तैयारी में बीजगणित और ज्यामिति के ज्ञान को व्यवस्थित करने के लिए है। मैं ऐसे कैसे एक पिरामिड के क्षेत्रफल की गणना करने के रूप में, सभी ज्ञात जानकारी को संयोजित करना चाहते हैं। इसके अलावा, नीचे और साइड से शुरू पूरी सतह क्षेत्र तक का सामना करना पड़ता। पक्ष का सामना कर स्थिति स्पष्ट है, के रूप में वे त्रिकोण हैं, तो आधार हमेशा अलग है।

कैसे जब पिरामिड के आधार के क्षेत्र होने के लिए?

यह एन-gon को एक मनमाना त्रिकोण से काफी किसी भी आंकड़ा हो सकता है। और इस आधार, कोण की संख्या में अंतर को छोड़कर, सही या गलत आंकड़ा हो सकता है। परीक्षा में छात्रों के हित में कार्य केवल आधार में सही आंकड़ों के साथ रोजगार के अवसर मिल गया। इसलिए, हम केवल उनके बारे में बात करेंगे।

समभुज त्रिकोण

यही कारण है कि समबाहु है। एक यह है कि सभी दलों के बराबर हैं और पत्र "एक" द्वारा नामित कर रहे हैं। इस मामले में, पिरामिड के आधार क्षेत्र सूत्र द्वारा गणना की जाती है:

एस = (क ² * √3) / 4।

वर्ग

सूत्र की गणना करने के अपने क्षेत्र हो, सबसे आसान है "एक" - पक्ष फिर से है:

और एस = ^2।

मनमानी नियमित एन-gon

बहुभुज एक ही पद के पक्षों पर। कोण की संख्या के लिए लैटिन पत्र n इस्तेमाल किया।

एस = (n * ²⁾ / (4 * TG (180 º / एन)) ।

कैसे पार्श्व और पूर्ण सतह के क्षेत्र की गणना में प्रवेश करने के लिए?

के बाद से आधार आंकड़ा सही है, तो सभी पिरामिड के चेहरे बराबर हैं। जिनमें से प्रत्येक एक समद्विबाहु त्रिकोण है, क्योंकि पक्ष किनारों बराबर हैं। फिर, आदेश पिरामिड का एक पक्ष के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए सूत्र समान एकपदीयों का योग से मिलकर की जरूरत है। पदों की संख्या के आधार पक्षों की राशि से निर्धारित होता है।

एक समद्विबाहु त्रिकोण के क्षेत्र सूत्र, जिसमें आधार उत्पाद के आधे ऊंचाई से गुणा किया जाता द्वारा की जाती है। पिरामिड में यह ऊंचाई apothem कहा जाता है। इसके पदनाम - 'ए'। पार्श्व सतह के क्षेत्र के लिए सामान्य सूत्र इस प्रकार है:

एस = आधा पी * एक, जहां पी - पिरामिड के आधार की परिधि।

बार जब यह आधार ओर करने के लिए नहीं जाना जाता है होते हैं, लेकिन पक्ष किनारों (क) फ्लैट और सुप्रीम (α) पर कोण है। तो फिर यह पिरामिड के पार्श्व क्षेत्र की गणना करने के निम्न सूत्र का उपयोग निर्भर करता है:

एस = n / 2 से ² * पाप α।

टास्क № 1

स्थिति। , पिरामिड के कुल क्षेत्रफल का पता लगाएं, तो इसके आधार है एक समभुज त्रिकोण 4 सेमी का एक पक्ष के साथ और मूल्य √3 apothem सेमी है।

निर्णय। यह आधार परिधि की गणना के साथ शुरू करना चाहिए। चूंकि यह एक नियमित रूप से त्रिकोण, तो पी = 3 * 4 = 12 सेमी apothem के रूप में जाना जाता है, एक तुरंत पूरे पार्श्व सतह :. साढ़े * 12 * √3 = 6√3 ^{सेमी 2} के क्षेत्रफल की गणना कर सकते ^हैं।

आधार त्रिकोण प्राप्त करने के लिए क्षेत्र (4 ² * √3) / 4 = 4√3 ^{सेमी 2} का मूल्य ^है।

6√3 + 4√3 = 10√3 ^{सेमी 2:} पूरे क्षेत्र का निर्धारण करने के दो जिसके परिणामस्वरूप मूल्यों गुना की जरूरत ^है।

उत्तर। 10√3 ^{सेमी 2।}

समस्या № 2

स्थिति। वहाँ एक नियमित रूप से चौकोर पिरामिड है। 16 मिमी - आधार की लंबाई 7 मिमी, पार्श्व बढ़त के बराबर है। आप इसकी सतह क्षेत्र जानना चाहते हैं।

निर्णय। चूंकि बहुतल - आयताकार और सही, उसके आधार पर एक वर्ग है। आधार क्षेत्र सुनवाई और पार्श्व पक्षों वर्गाकार पिरामिड गिनती करने में सक्षम हो। वर्ग के लिए सूत्र ऊपर दी गई है। और मैं त्रिकोण के सभी पक्ष चेहरों को जानते हैं। इसलिए, आप अपने क्षेत्रों की गणना के लिए हीरोन का सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।

पहली गणना सरल कर रहे हैं और इस संख्या के लिए नेतृत्व: 49 मिमी ^2। दूसरा मूल्य की गणना करने के लिए अर्द्धपरिधि की जरूरत है: (7 + 16 * 2): 2 = 19.5 मिमी। अब हम एक समद्विबाहु त्रिकोण के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) ²⁾ = √2985,9375 = 54,644 मिमी ^2। चार त्रिकोण हैं, इसलिए जब अंतिम संख्या की गणना के 4 गुणा करने की आवश्यकता होगी।

प्राप्त: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 ^{मिमी 2।}

उत्तर। ² मिमी 267.576 वांछित मान।

टास्क № 3

स्थिति। नियमित रूप से चौकोर पिरामिड पर क्षेत्र की गणना करने के लिए आवश्यक है। यह वर्ग के पक्ष में जाना जाता है - 6 सेमी और ऊंचाई - 4 सेमी।

निर्णय। सबसे आसान तरीका है परिधि और apothem के उत्पाद के सूत्र का उपयोग करने के लिए। पहले मान बस पाया जाता है। दूसरा एक छोटे से कठिन।

हम पाइथागोरस प्रमेय याद है और विचार करने के लिए होगा एक समकोण त्रिकोण। यह पिरामिड और apothem, जो कर्ण है की ऊंचाई से बना है। के रूप में एक बहुतल ऊंचाई इसे के बीच में गिर जाता है दूसरा चरण वर्ग के आधे पक्ष है।

इष्ट apothem (एक सही त्रिकोण के कर्ण) √ के बराबर ⁽² मार्च 4 ²⁾ = 5 (सेमी) है।

अब यह वांछित मूल्य की गणना करने के लिए संभव है: आधा * (4 * 6) * 5 + 6 2 = 96 ( सेमी ^2)।

उत्तर। 96 सेमी ^2।

समस्या № 4

स्थिति। दाना नियमित हेक्सागोनल पिरामिड। इसके आधार की तरफ 22 मिमी के बराबर, पार्श्व किनारों - 61 मिमी। इस बहुतल के पार्श्व सतह के क्षेत्र क्या है?

निर्णय। इसमें तर्क कार्य №2 में वर्णित के रूप में एक ही कर रहे हैं। केवल पिरामिड आधार पर वर्ग के लिए वहाँ दिया गया था, और अब यह एक षट्भुज है।

पहला कदम उपरोक्त सूत्र ^{(6 * 22 2) / (के} आधार क्षेत्र करके की जाती है 4 * TG (180 º / 6)) = 726 / (tg30º) = 726√3 ^{सेमी 2।}

अब आप एक समद्विबाहु त्रिकोण है, जो एक ओर चेहरा है के आधे परिधि खोजने की जरूरत है। (22 + 61 * 2) :. = 72 सेमी 2 हीरोन का सूत्र त्रिकोण में से प्रत्येक के क्षेत्रफल की गणना, और फिर छह गुना और एक आधार के लिए पता चला कि से गुणा करने पर रहता है।

हीरोन का सूत्र पर गणना: √ (72 * (72-22) * ( 72-61) 2) = √435600 = 660 सेमी ^2। 660 * 6 = 3960 सेमी ^2: गणना पार्श्व सतह क्षेत्र प्रदान कर सकते ^हैं। 5217,47≈5217 सेमी ^2: यह पूरी सतह पता लगाने के लिए उन्हें जोड़ने के लिए बनी हुई ^है।

उत्तर। मैदान - 726√3 सेमी ^2, पक्ष सतह - 3960 सेमी ^2, पूरे क्षेत्र - 5217 सेमी ^2।