एक त्रिभुज के कोणों का योग। एक त्रिभुज के कोणों के योग पर प्रमेय

त्रिकोण एक बहुभुज तीन तरफ (तीन कोण) चल रहा है। अक्सर, हिस्सा इसी बड़े अक्षरों, जो विपरीत कोने प्रतिनिधित्व छोटे अक्षरों से दर्शाया जाता है। इस लेख में हम ज्यामितीय आकार, प्रमेय, जो परिभाषित करता है क्या एक त्रिभुज के कोणों के योग के बराबर है के इन प्रकार पर एक नज़र डालें।

प्रकार सबसे बड़ा कोण

तीन कोने के साथ बहुभुज के निम्नलिखित प्रकार:

• तीव्र कोण, जिसमें सभी कोणों तेज कर रहे हैं;
• आयताकार एक समकोण होने, पक्ष यह बनाने, पैर में जाना जाता है, और पक्ष है कि सही कोण के विपरीत निपटान किया जाता है कर्ण कहा जाता है;
• कुंठित जब एक कोण कुंठित है ;
• समद्विबाहु, जिनकी दो भुजाएं बराबर होती हैं, और वे पार्श्व कहा जाता है, और तीसरा - एक त्रिकोण एक आधार के साथ;
• समभुज तीन बराबर पक्षों रही है।

गुण

आवंटित बुनियादी गुण है कि त्रिकोण के प्रत्येक प्रकार के लक्षण हैं:

• विपरीत सबसे बड़ी भुजा हमेशा बड़ा कोण, और इसके विपरीत है,
• बराबर-सबसे बड़ी पार्टी के सामने बराबर कोण, और इसके विपरीत कर रहे हैं;
• किसी भी त्रिकोण में दो न्यून कोण है;
• किसी भी आंतरिक कोण आसन्न नहीं इस के सिवा से अधिक बाहरी कोण;
• किसी भी दो कोणों का योग हमेशा कम से कम 180 डिग्री है;
• बाहरी कोण अन्य दो कोनों है, जो उसके साथ mezhuyut नहीं कर रहे हैं की राशि के बराबर होती है।

एक त्रिभुज के कोणों के योग पर प्रमेय

प्रमेय के अनुसार अगर आप ज्यामितीय आकार, जो इयूक्लिडियन विमान में स्थित है के हर कोने को जोड़ने, तो उनके योग 180 डिग्री हो जाएगा। चलो इस प्रमेय साबित करने के लिए कोशिश करते हैं।

हम एक मनमाना त्रिकोण कोने KMN साथ करते हैं। पार एम के शीर्ष का आयोजन करेगा लाइन के लिए प्रत्यक्ष रूप से समानांतर केएन (यहां तक कि इस लाइन यूक्लिड कहा जाता है)। यह बात एक ध्यान दिया जाना चाहिए ताकि अंक कश्मीर और एक लाइन एम.एन. के विभिन्न पक्षों से व्यवस्थित कर रहे हैं। हम एम्स और Muf, का एक ही कोण जिस, इंटीरियर की तरह, आड़े झूठ प्रत्यक्ष सीएन और एमए है, जो समानांतर हैं के साथ संयोजन के रूप में एम.एन. अन्तर्विभाजक के रूप में मिलता है। इस से यह इस प्रकार है कि त्रिकोण, एम और एन के कोने पर स्थित के कोणों का योग सीएमए कोण के आकार के बराबर है। सभी तीन कोण राशि KMA और एमसीएस के कोण के योग के बराबर से मिलकर बनता है। के बाद से डेटा आंतरिक कोण रिश्तेदार पक्षीय समानांतर रेखाओं सीएल और मुख्यमंत्री एमए अन्तर्विभाजक पर हैं, उनका योग 180 डिग्री है। इस प्रमेय साबित होता है।

परिणाम

ऊपर प्रमेय ऊपर की तात्पर्य निम्नलिखित परिणाम: हर त्रिकोण दो न्यून कोण है। यह साबित करने के लिए, हमें यह मान ज्यामितीय आंकड़ा केवल एक न्यूनकोण है कि करते हैं। आप यह भी मान सकते हैं कोनों कि कोई भी तेज नहीं हैं। इस मामले में यह कम से कम दो कोण, परिमाण जिनमें से के बराबर या 90 डिग्री से अधिक है होना चाहिए। लेकिन तब कोणों का योग 180 डिग्री से अधिक है। लेकिन इस नहीं किया जा सकता, जैसा कि एक त्रिकोण के प्रमेय राशि कोणों के अनुसार 180 डिग्री के बराबर है -, कोई और अधिक कम नहीं। यही कारण है कि साबित कर दिया जा सकता था है।

संपत्ति के बाहर कोनों

एक त्रिभुज के कोणों, जो बाहरी हैं की राशि क्या है? इस सवाल का जवाब दो तरह से लागू करने के द्वारा प्राप्त किया जा सकता है। पहला यह है कि आप कोण है, जो प्रत्येक शीर्ष पर एक लिया जाता है, वह है, तीन कोणों का योग खोजने की जरूरत है। दूसरा अर्थ यह है कि आप कोने में छह कोणों का योग खोजने की जरूरत है। पहला अवतार की शुरुआत के साथ सौदा करने के लिए। दो में से प्रत्येक के शीर्ष पर - इस प्रकार, त्रिकोण छह बाहरी कोनों में शामिल है। प्रत्येक जोड़ी, आपस में बराबर कोण है क्योंकि वे खड़ी कर रहे हैं:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6।

इसके अलावा, यह जाना जाता है कि एक त्रिकोण के बाहरी कोने दो आंतरिक है, जो उसके साथ mezhuyutsya नहीं हैं की राशि के बराबर होती है। इसलिए,

∟1 = ∟A + ∟S, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟S।

इस से ऐसा लगता है कि बाहरी कोण है, जो प्रत्येक शिखर के पास एक के बाद एक रखा जाता है की राशि के बराबर हो जाएगा:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + + ∟S ∟A ∟V + + + ∟V ∟S = 2 एक्स (∟A + ∟V ∟S +)।

तथ्य यह है कि कोणों का योग 180 डिग्री के बराबर देखते हुए यह तर्क दिया जा सकता है कि ∟A + ∟V ∟S = 180 °। यह है कि ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180 ° = 360 डिग्री का मतलब है। दूसरा विकल्प प्रयोग किया जाता है, तो छह कोणों का योग दो बार तदनुसार अधिक हो जाएगा। एक त्रिभुज के कोणों का योग यानी बाहर हो जाएगा:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 एक्स (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °।

सही त्रिकोण

क्या एक समकोण त्रिकोण के कोणों का योग के बराबर है, द्वीप है? जवाब प्रमेय, जिसमें कहा गया है कि एक त्रिभुज के कोणों 180 डिग्री तक जोड़ से फिर से, है। एक ध्वनि हमारे दावा (संपत्ति) इस प्रकार है: एक समकोण तेज कोण 90 डिग्री तक जोड़ में। हम अपनी सच्चाई साबित होते हैं। वहाँ चलो देखते हुए त्रिकोण KMN, जो ∟N = 90 ° हो। यह साबित होता है कि ∟K ∟M = 90 ° आवश्यक है।

इस प्रकार, कोण ∟K + ∟M ∟N + = 180 डिग्री के योग पर प्रमेय के अनुसार। इस हालत में यह कहा ∟N = कि 90 डिग्री है। यह पता चला ∟K ∟M + 90 ° = 180 डिग्री। 90 ° = 90 ° - वह ∟K ∟M + = 180 डिग्री है। यही कारण है कि हम साबित करना चाहिए है।

एक समकोण त्रिकोण के ऊपर गुणों के अलावा, आप इन जोड़ सकते हैं:

• कोण है, जो पैरों के खिलाफ झूठ तेज कर रहे हैं;
• पैरों में से किसी की तुलना में अधिक त्रिकोणीय के कर्ण;
• पैर कर्ण की तुलना में अधिक की राशि;
• त्रिकोण के पैर, जो 30 डिग्री के कोण के सामने स्थित, कर्ण के आधे, कि इसके आधे के बराबर है।

ज्यामितीय आकार का एक और संपत्ति के रूप में पाइथागोरस प्रमेय प्रतिष्ठित किया जा सकता। वह तर्क है कि एक त्रिकोण 90 डिग्री (आयताकार) का एक कोण के साथ में, पैर के वर्गों का योग कर्ण के वर्ग के बराबर होती है।

एक समद्विबाहु त्रिकोण के कोणों का योग

इससे पहले हम ने कहा कि एक समद्विबाहु त्रिकोण तीन कोने के साथ एक बहुभुज, दो बराबर भुजाओं से युक्त है। यह गुण ज्यामितीय आंकड़ा जाना जाता है: इसके आधार पर कोण बराबर। हमें यह साबित करते हैं।

इसके आधार - त्रिकोण KMN, जो समद्विबाहु, अनुसूचित जाति है ले लो। हम चाहते हैं कि ∟K = ∟N साबित करने के लिए आवश्यक हैं। तो, हमें उस एमए मान लें - KMN हमारे त्रिकोण का द्विभाजक है। त्रिकोण समानता का पहला संकेत के साथ आईसीए त्रिकोण MNA है। अर्थात्, परिकल्पना द्वारा दिए गए कि मुख्यमंत्री = समुद्री मील दूर, एमए एक आम पक्ष है, ∟1 = ∟2, क्योंकि एमए - इस द्विभाजक। दो त्रिकोण की समानता का उपयोग करना, एक बहस कर सकते कि ∟K = ∟N। इसलिए, प्रमेय सिद्ध किया गया है।

लेकिन हम में रुचि रखते हैं, क्या एक त्रिकोण (समद्विबाहु) के कोण का योग है। क्योंकि इस संबंध में यह अपनी सुविधाओं की जरूरत नहीं है, हम प्रमेय पहले चर्चा से शुरू कर देंगे। यही कारण है कि हम कह सकते हैं, यह है कि ∟K + ∟M ∟N + = 180 डिग्री, या 2 एक्स ∟K ∟M + = 180 डिग्री (∟K = ∟N के रूप में)। यह संपत्ति साबित नहीं होगा के रूप में एक त्रिभुज के कोणों के योग पर प्रमेय पहले साबित कर दिया था।

एक त्रिकोण के कोनों में से माना जाता है गुण के अलावा, वहाँ भी इस तरह के महत्वपूर्ण बयान कर रहे हैं:

• में एक समभुज त्रिकोण ऊंचाई, जो आधार को कम कर दिया गया था, एक साथ कोण जिस बराबर पक्षों और के बीच है की औसत द्विभाजक है समरूपता की धुरी इसके आधार की;
• मंझला (द्विभाजक, ऊंचाई) है, जो एक ज्यामितीय आंकड़ा के पक्षों को आयोजित कर रहे हैं, समान हैं।

समभुज त्रिकोण

यह भी सही कहा जाता है, त्रिकोण, जो सभी दलों के बराबर हो रहा है। और इसलिए भी बराबर और कोण। उनमें से प्रत्येक 60 डिग्री है। हमें इस संपत्ति को साबित करते हैं।

आइए हम मान लेते एक त्रिकोण KMN है कि हम करते हैं। हम चाहते हैं कि के.एम. = एचएम = के.एच. पता है। यह इसका मतलब है कि, एक समभुज त्रिकोण ∟K = ∟M = ∟N में आधार पर स्थित कोण की संपत्ति के अनुसार। , के बाद से एक त्रिकोण प्रमेय ∟K + ∟M ∟N के कोणों का योग के अनुसार + = 180 डिग्री है, तो x 3 = 180 डिग्री ∟K या ∟K = 60 डिग्री, ∟M = 60 डिग्री, ∟N = 60 डिग्री। इस प्रकार, अभिकथन साबित होता है। जैसा कि ऊपर ऊपर प्रमेय के आधार पर सबूत से देखा, कोणों का योग एक समबाहु त्रिभुज की, किसी भी अन्य त्रिभुज के कोणों का योग के रूप में 180 डिग्री है। फिर इस प्रमेय साबित आवश्यक नहीं है।

अभी भी कुछ गुण एक समभुज त्रिकोण के लक्षण हैं:

• एक ज्यामितीय आकृति में मंझला द्विभाजक ऊंचाई समान, और उनकी लंबाई के रूप में (एक एक्स √3) गणना की जाती है: 2;
• इस बहुभुज चक्र घेरने वाले हैं, तो त्रिज्या के लिए (एक एक्स √3) बराबर होगा: 3;
• यदि एक चक्र समभुज त्रिकोण में खुदा, इसकी त्रिज्या (एक एक्स √3) होगा: 6;
• (A2 एक्स √3): ज्यामितीय आंकड़ा के क्षेत्र सूत्र द्वारा गणना की जाती है 4।

कुंठित त्रिकोण

परिभाषा के अनुसार, एक कुंठित कोण त्रिकोण, इसके कोनों में से एक 90 180 डिग्री के बीच है। लेकिन वास्तव ज्यामितीय आकार तेज के अन्य दो कोणों, यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि वे 90 डिग्री से अधिक नहीं है को देखते हुए। इसलिए, एक त्रिकोण प्रमेय के कोणों का योग एक कुंठित त्रिकोण में कोणों का योग की गणना में काम करता है। तो, हम सुरक्षित रूप से ऊपर प्रमेय कि एक त्रिकोण के कुंठित कोणों का योग 180 डिग्री के आधार पर, कह सकते हैं। फिर, यह प्रमेय फिर से सबूत की जरूरत नहीं है।