त्रिकोण की समानता का पहला संकेत। त्रिकोण की समानता के दूसरे और तीसरे संकेत

बहुभुज, जो अनिवार्य रूप से न काटने वाली बहुभुज लाइन, एक त्रिकोण बंद कर दिया हैं की भारी संख्या के बीच - कोण की कम से कम संख्या के साथ एक आंकड़ा है। दूसरे शब्दों में, यह एक साधारण बहुभुज है। ज्यामिति - लेकिन, अपनी सादगी के बावजूद, यह आंकड़ा रहस्यों और दिलचस्प खोजों का एक बहुत है, जो गणित की एक विशेष शाखा पर प्रकाश डाला गया छिपा। स्कूलों में यह अनुशासन सातवीं कक्षा शिक्षण प्रारंभ करें, और "त्रिभुज" विषय पर विशेष ध्यान दिया जाता है। बच्चे केवल आंकड़ा खुद के नियमों सीख नहीं, लेकिन यह भी तुलना करने के लिए उनके 1, 2 और 3, त्रिकोण की समानता का संकेत सीखने।

पहले परिचित

पहले नियमों में से एक,, छात्रों से परिचित हैं यह कुछ इस तरह चला जाता है: एक त्रिकोण के कोणों का योग 180 डिग्री के बराबर। इस बात की पुष्टि करने के लिए, यह कोने में से प्रत्येक को मापने और सभी परिणामी मानों को जोड़ना चांदा का उपयोग करने के पर्याप्त होता। तदनुसार, जब दो ज्ञात मानों आसानी से तीसरे निर्धारण करते हैं। उदाहरण के लिए: त्रिकोण के एक कोने में 70 डिग्री है, और अन्य है - क्या तीसरे कोण के आकार, 85 डिग्री?

180 - 85 - 70 = 25।

उत्तर: 25 ° करने के लिए।

कार्य और अधिक जटिल हो सकता है यदि केवल एक निर्दिष्ट कोण मूल्य और के बारे में एक दूसरा मान ही कितना या कितनी बार यह ज़्यादा या कम है पर कहा।

त्रिकोण में एक या जिनमें से प्रत्येक यह अपने आप ही नाम है किया जा सकता है लाइन की अपनी विशेष सुविधाओं, का एक और निर्धारित करने के लिए:

• ऊंचाई - लम्ब विपरीत दिशा में शिखर से तैयार;
• सभी तीन ऊंचाइयों, आंकड़ा के केंद्र में एक ही समय में आयोजित किया, एक दूसरे को काटना, orthocenter के गठन, जो, त्रिकोण के प्रकार पर निर्भर अंदर और बाहर दोनों हो सकता है;
• माध्य - लाइन विपरीत पक्ष के बीच करने के लिए शीर्ष जोड़ने;
• इसकी गंभीरता का माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु, है आकृति के अंदर है,
• द्विभाजक - लाइन विपरीत पक्ष के साथ चौराहे की बात करने के लिए ऊपर से चल रहा है, तीन समद्विभाजक के प्रतिच्छेदन बिंदु खुदा चक्र के केंद्र है।

त्रिकोण के बारे में सरल सत्य

त्रिकोण, के रूप में, वास्तव में, और सभी आंकड़े अपने स्वयं के लक्षण और गुण होते हैं। पहले से ही उल्लेख किया है, यह आंकड़ा एक सरल बहुभुज है, लेकिन अपनी विशेषता सुविधाओं के साथ:

• के खिलाफ बहुत लंबे साइड कोण हमेशा एक बड़ा परिमाण, और इसके विपरीत के साथ निहित है;
• बराबर पक्षों के खिलाफ बराबर कोण, उदाहरण हैं - एक समद्विबाहु त्रिकोण;
• अन्तःकोणों का योगफल हमेशा 180 डिग्री, कि पहले से ही एक उदाहरण पर प्रदर्शन किया गया है के बराबर है;
• त्रिभुज की एक भुजा पर विस्तार बाहरी कोण जो हमेशा कोणों का योग के बराबर होगा परे बनाई है, यह आसन्न नहीं है;
• किसी भी दल के हमेशा अन्य दोनों पक्षों की राशि से कम है, लेकिन अपने मतभेदों के सबसे।

त्रिकोण के प्रकार

अगले चरण के लिए खोज रहे हैं समूह है जो प्रस्तुत त्रिकोण को पहचान करने के लिए है। एक विशेष प्रकार से संबंधित एक त्रिभुज के कोणों के मूल्यों पर निर्भर करता है।

• समद्विबाहु - दो बराबर पक्ष जो पक्ष कहा जाता है, इस मामले में तीसरे के साथ आधार आकार के रूप में कार्य करता है। त्रिकोण के आधार पर कोण ही कर रहे हैं और मंझला ऊपर से तैयार की, द्विभाजक और ऊंचाई है।
• सही है, या एक समभुज त्रिकोण - वह है जिसमें उसके सभी भुजाएं बराबर होती हैं है।
• इसके कोनों में से आयताकार एक 90 डिग्री है। इस मामले में, इस कोण विपरीत दिशा कर्ण कहा जाता है, और अन्य दो - पैर।
• तीव्र त्रिकोण - सभी कोणों 90 डिग्री से कम है।
• कुंठित - 90 डिग्री से अधिक कोण में से एक।

समानता और त्रिकोण की समानता

सीखने की प्रक्रिया में न केवल अलग रूप ले लिया हुआ माना जाता है, लेकिन यह भी दो त्रिकोण तुलना करने के लिए। बराबर त्रिकोण - और यह प्रतीत होता है सरल विषय नियमों और प्रमेयों जो कि माना आंकड़ा साबित किया जा सकता का एक बहुत है। त्रिकोण के लक्षण समानता की एक परिभाषा है: अगर उनकी संगत भुजाओं और कोण बराबर होते हैं त्रिकोण बराबर हैं। इस समीकरण के साथ, अगर हम एक दूसरे पर इन दोनों आंकड़ों थोपना, अपने सभी लाइनों जमा होते है। इसके अलावा आंकड़ा समान हो सकता है, विशेष रूप से, यह काफी हद तक समान आकार से संबंधित है, केवल परिमाण में अंतर होता है। आदेश में प्रतिनिधित्व त्रिकोण निम्न स्थितियों में से एक में पूरा किया जाना चाहिए पर इस तरह के एक निष्कर्ष बनाने के लिए:

• एक आंकड़ा के दो कोण एक और के दो कोण के बराबर है;
• दूसरा त्रिकोण के दो पहलू के दो पहलू है, और गठन पक्षों के कोण बराबर होते हैं के लिए आनुपातिक;
• दूसरा चित्र के तीन ओर पहले की तरह ही है।

बेशक, निर्विवाद समानता है, जो थोड़ी सी भी संदेह का कारण नहीं है के लिए, आप दोनों आंकड़े के सभी तत्वों का ही मान होना आवश्यक है, लेकिन सिद्धांत की समस्या से बहुत सरल है, और केवल कुछ ही स्थिति साबित होता है कि त्रिकोण के लिए अनुमति दी।

त्रिकोण की समानता का पहला संकेत

विषय पर समस्याओं प्रमेय है, जो के रूप में पढ़ता के सबूत के आधार पर हल कर रहे हैं: "। त्रिकोण और कोण है कि वे फार्म के दो पहलू, दोनों पक्षों ने और दूसरे त्रिभुज के कोण के बराबर हैं, तो आंकड़े भी एक दूसरे के बराबर हैं"

त्रिकोण की समानता का पहला संकेत के बारे में प्रमेय की ध्वनि सबूत के रूप में? हर कोई जानता है अगर वे एक ही लंबाई, या परिधि के बराबर है अगर वे एक ही त्रिज्या है कि दो खंडों बराबर हैं। और त्रिकोण के मामले में कुछ संकेत जिसके साथ यह माना जा सकता है कि आंकड़े समान हैं, जो विभिन्न ज्यामितीय समस्याओं को सुलझाने में बहुत उपयोगी है कर रहे हैं।

प्रमेय "त्रिकोण की समानता का पहला संकेत" की ध्वनि, ऊपर वर्णित है, लेकिन इसके सबूत:

• मान लीजिए त्रिकोण और एक ₁ बी ₁ सी ₁ एक ही पक्षों अटल बिहारी और एक ₁ बी ₁ क्रमशः, ई.पू. और बी ₁ सी ₁ कर रहे हैं _और,, और कोण है कि इन पक्षों द्वारा बनाई हैं एक ही मूल्य है, यानी बराबर है। तब △ △ एक ₁ बी ₁ सी _1, हम सभी लाइनों और कोने के एक मैच मिल एबीसी पर डाल दिया। यह इस प्रकार है कि इन त्रिकोण के बिल्कुल समान हैं, जो बराबर का मतलब है।

प्रमेय "त्रिकोण की समानता का पहला संकेत," भी कहा जाता है "दोनों पक्षों ने और कोने पर।" वास्तव में, यह यह का सार है।

दूसरा संकेत पर प्रमेय

समानता का दूसरा संकेत इसी तरह के सबूत तथ्य यह है कि एक दूसरे पर टुकड़े लगाने, वे सभी सबसे ऊपर और पक्षों में समान हैं पर आधारित है साबित होती है। एक प्रमेय इस तरह लगता है: "एक तरफ और गठन यह भाग लेता है, पार्टी और दूसरे त्रिभुज के दो कोनों जिनमें से में दो कोण, तो इन आंकड़ों, समान यानी बराबर हैं।"

तीसरे संकेत और सबूत

दोनों 2 और समानता के 1 संकेत त्रिकोण, कोण और आकार के दोनों किनारों पर लागू होता है, तीसरे ही पार्टियों के लिए संदर्भित करता है। इस प्रकार, प्रमेय निम्नलिखित शब्दों है: "सभी एक त्रिभुज की भुजाओं दूसरे त्रिभुज की तीन पक्षों के लिए बराबर हैं, आंकड़े समान हैं।"

इस प्रमेय को साबित करने के लिए, यह समानता की परिभाषा में अधिक विस्तार में तल्लीन करने के लिए आवश्यक है। वास्तव में, क्या मतलब है "त्रिकोण के बराबर हैं"? पहचान का कहना है कि अगर हम एक से दूसरे आंकड़ा थोपना, तत्वों से मेल नहीं खाता है, यह केवल मामला है जब उनके पक्षों और कोण बराबर होते हैं हो सकता है। एक ही समय में एक तरफ विपरीत कोण है, जो अन्य त्रिकोण के समान ही है दूसरा चित्र की इसी शिखर के बराबर है। ऐसा लगता है कि इस बिंदु पर सबूत त्रिकोण की समानता के 1 संकेत में अनुवाद करने के लिए आसान है। यदि इस क्रम नहीं मनाया जाता है, त्रिकोण की समानता मामलों में जहां यह आंकड़ा पहली का एक आईना छवि है को छोड़कर बस असंभव है,।

समकोण त्रिभुज

इस तरह के त्रिकोण की संरचना हमेशा कोण 90 डिग्री के साथ शीर्ष पर है। इसलिए, निम्न विवरण सत्य है:

• सही कोण के साथ त्रिकोण के बराबर हैं, तो समान दूसरा भुजा के पैरों;
• अगर वे कर्ण व एक पैर के बराबर हैं आंकड़े बराबर हैं;
• इस तरह के त्रिकोण उनके पैर और समान न्यूनकोण अगर बराबर हैं।

यह सुविधा से संबंधित है आयताकार त्रिकोण। प्रमेय एक दूसरे के लिए एप्लिकेशन आकार इस्तेमाल किया, त्रिकोण के पैरों में जिसके परिणामस्वरूप तह कर रहे हैं साबित करने के लिए इतना है कि दो सीधे बाईं सीधे कोण सीए ₁ और सीए पक्षों के साथ।

व्यावहारिक अनुप्रयोग

ज्यादातर मामलों में, व्यवहार में, यह त्रिकोण की समानता का पहला संकेत लागू होता है। वास्तव में, ज्यामिति और विमान ज्यामिति इस्तेमाल किया विषय के लिए इस कदाचित सरल वर्ग और 7 अवधि की गणना करने, उदाहरण के लिए, एक माप क्षेत्र के बिना फोन केबल, जिसमें यह जगह ले जाएगा। इस प्रमेय यह द्वीप, नदी के बीच में स्थित की लंबाई निर्धारित करने के लिए आवश्यक गणना करने के लिए आसान है का उपयोग करना, यह भर में तैराकी के बिना। या खाड़ी में बार रखकर बाड़ को सुदृढ़ इतना है कि यह दो बराबर त्रिकोण में बांटा गया है, या बढ़ईगीरी में या निर्माण के दौरान ट्रस छत प्रणाली की गणना में काम की जटिल तत्वों की गणना।

त्रिकोण की समानता का पहला संकेत एक असली "वयस्क" जीवन में विस्तृत आवेदन किया है। उच्च विद्यालय के वर्षों में हालांकि यह विषय कई उबाऊ और पूरी तरह से अनावश्यक लगता है के लिए है।