पेंडुलम: अवधि और सूत्र के त्वरण

यांत्रिक प्रणाली है कि एक सामग्री बिंदु (शरीर), जो (उसके द्रव्यमान शरीर के वजन की तुलना में नगण्य है) एक समान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में एक भारहीन inextensible रेशा पर लटका हुआ है के होते हैं, गणितीय पेंडुलम (- दोलक एक और नाम) कहा जाता है। वहाँ उपकरणों के अन्य प्रकार हैं। एक रेशा भारहीन रॉड के बजाय इस्तेमाल किया जा सकता। पेंडुलम स्पष्ट रूप से कई दिलचस्प घटना का सार प्रकट कर सकते हैं। जब उसकी गति के छोटे आयाम कंपन हार्मोनिक कहा जाता है।

यांत्रिक प्रणाली बारे में सामान्य जानकारी

पेंडुलम के दोलन की अवधि के सूत्र नस्ल था डच वैज्ञानिक हुय्गेंस (1629-1695 gg।)। इसाक न्यूटन की यह समकालीन यांत्रिक प्रणाली के बहुत शौकीन था। 1656 में वह एक पेंडुलम तंत्र के साथ पहली घड़ी बनाया। वे उस समय के लिए चरम परिशुद्धता के साथ समय मापा जाता। इस आविष्कार भौतिक प्रयोगों और व्यावहारिक गतिविधियों के विकास में एक बड़ा कदम था।

पेंडुलम एक संतुलन की स्थिति (खड़ी फांसी) में है, तो गुरुत्वाकर्षण के बल धागा तनाव बल द्वारा संतुलित हो जाएगा। एक गैर खींचे यार्न पर फ्लैट पेंडुलम संचार की स्वतंत्रता के दो डिग्री के साथ एक प्रणाली है। जब इसके सभी भागों की विशेषताओं को बदलने का सिर्फ एक घटक बदलते। उदाहरण के लिए यदि एक धागा एक छड़ी की जगह है, तो इस यांत्रिक प्रणाली स्वतंत्रता का केवल 1 डिग्री है। क्या, फिर, एक गणितीय पेंडुलम के गुण? इस सरल प्रणाली में, एक आवधिक गड़बड़ी के प्रभाव के तहत, अराजकता दिखाई देता है। उस मामले में, जब निलंबन बिंदु से आगे बढ़ नहीं है, और एक पेंडुलम झूल रहे में एक नया संतुलन की स्थिति नहीं है। अप और इस यांत्रिक प्रणाली नीचे तेजी से उतार-चढ़ाव स्थिर स्थिति बन जाता है "उल्टा।" अगर यह भी कि इसके नाम से है। यह Kapitza पेंडुलम कहा जाता है।

पेंडुलम के गुण

पेंडुलम बहुत ही दिलचस्प गुण है। वे सब के सब अच्छी तरह से ज्ञात भौतिक नियमों के द्वारा समर्थित हैं। इस बिंदु के संबंध में निलंबन की बात और गुरुत्वाकर्षण का केंद्र, वजन वितरण के बीच की दूरी पेंडुलम किसी अन्य के दोलन की अवधि में इस तरह के आकार और शरीर के आकार के रूप में विभिन्न परिस्थितियों पर निर्भर करता है। कारण है कि शरीर फांसी अवधि की परिभाषा काफी चुनौतीपूर्ण है। ज्यादा एक सरल लोलक, सूत्र जिनमें से नीचे दी गई है की अवधि की गणना करने के लिए आसान है। इन पैटर्न को देख के परिणामस्वरूप समान यांत्रिक प्रणाली पर सेट किया जा सकता है:

• हैं, जबकि पेंडुलम की एक ही लंबाई, भार की एक किस्म से निलंबित कर दिया को बनाए रखने, दोलन की अवधि, एक ही मिलता है, हालांकि अपने वजन बहुत अलग अलग होंगे। नतीजतन, पेंडुलम की अवधि लोड का वजन पर निर्भर नहीं करता।

• प्रणाली पेंडुलम में गिरावट शुरू होता है बहुत बड़ा नहीं है, लेकिन विभिन्न कोणों, यह इसी अवधि के साथ उतार चढ़ाव हो जाएगा, लेकिन अलग-अलग आयाम में। जबकि शेष राशि के केंद्र से विचलन नहीं है उनके रूप में भी बड़े उतार-चढ़ाव काफी निकट हार्मोनिक हो जाएगा। इस तरह के एक पेंडुलम की अवधि कंपन आयाम पर निर्भर नहीं करता। यांत्रिक प्रणाली का यह गुण isochronism (- समय "Izosov" - बराबर ग्रीक "chronos" में) कहा जाता है।

एक सरल लोलक की अवधि

यह आंकड़ा दोलन की प्राकृतिक अवधि प्रतिनिधित्व करता है। जटिल निर्माण के बावजूद, प्रक्रिया ही बहुत सरल है। यदि यार्न गणितीय पेंडुलम एल, और गुरुत्वाकर्षण त्वरण जी की लंबाई, यह मान बराबर है:

टी = 2π√L / जी

कोई रास्ता नहीं में प्राकृतिक दोलनों की छोटी अवधि के पेंडुलम की बड़े पैमाने पर और दोलन आयाम पर निर्भर नहीं करता। इस मामले में, एक गणितीय पेंडुलम कम लंबाई के साथ चलता है के रूप में।

एक गणितीय पेंडुलम की दोलन

गणितीय पेंडुलम झूल रहे, एक साधारण अंतर समीकरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है:

x + ω2 पाप x = 0,

जहां एक्स (टी) - अज्ञात समारोह (समय t पर संतुलन के निचले स्थान से विक्षेपन की इस कोण रेडियन में व्यक्त); ω - एक सकारात्मक निरंतर जो पेंडुलम (ω = √g / एल, के मापदंडों से निर्धारित किया जाता है, जहां ग्राम - गुरुत्वाकर्षण के त्वरण, और एल - एक सरल लोलक (निलंबन) की लंबाई।

संतुलन की स्थिति (हार्मोनिक समीकरण) के रूप में के पास छोटे दोलनों समीकरण:

x + ω2 पाप x = 0

पेंडुलम की oscillatory गति

पेंडुलम, जो छोटे दोलनों बनाता है, sinusoid घूम रहा है। दूसरा आदेश अंतर समीकरण सभी आवश्यकताओं और इस तरह के एक आंदोलन के मापदंडों को पूरा करती है। पथ आप गति और निर्देशांक, जो बाद में स्वतंत्र स्थिरांक निर्धारित निर्धारित करने की आवश्यकता का निर्धारण करने के लिए:

एक्स = एक पाप (θ ₀ + ωt),

जहां θ ₀ - प्रारंभिक चरण, A - दोलन के आयाम, ω - चक्रीय आवृत्ति गति के समीकरणों से निर्धारित।

पेंडुलम (बड़े आयाम के लिए सूत्र)

यह यांत्रिक प्रणाली, एक बड़े आयाम के साथ उनके दोलनों करते हैं, यह और अधिक जटिल यातायात कानूनों के अधीन है। वे इस तरह के एक पेंडुलम के लिए सूत्र के अनुसार गणना कर रहे हैं:

पाप एक्स / 2 = यू * एस.एन. (ωt / यू),

जहां एस.एन. - ज्या जैकोबी, यू के लिए <जो 1 एक आवधिक समारोह है, और छोटे यू के लिए यह सरल त्रिकोणमितीय साइन के साथ मेल खाता। यू का मूल्य निम्नलिखित अभिव्यक्ति से निर्धारित होता है:

यू = (ε + ω2) / 2ω2,

जहां ε = ई / ML2 (ML2 - पेंडुलम की ऊर्जा)।

निम्नलिखित सूत्र द्वारा पेंडुलम के nonlinear दोलन की अवधि का निर्धारण:

टी = 2π / Ω,

जहां Ω = π / 2 * ω / 2K (यू), कश्मीर - अण्डाकार अभिन्न, π - 3,14।

separatrix के पेंडुलम आंदोलन

यह गतिशील प्रणाली, जिसमें एक दो आयामी चरण अंतरिक्ष के separatrix प्रक्षेपवक्र कहा जाता है। पेंडुलम पर एक गैर समय-समय पर ले जाता है। समय की असीम दूर बिंदु में यह एक शून्य की गति की ओर चरम ऊपरी स्थिति से चला जाता है, और फिर इसे धीरे-धीरे बढ़ रहा है। वह अंततः बंद कर दिया, अपनी मूल स्थिति में लौटने।

पेंडुलम की दोलन के आयाम संख्या अनुकरणीय दृष्टिकोण है, यह कहा जाता है कि चरण विमान में गति separatrix के करीब है। इस मामले में, यांत्रिक प्रणाली का एक छोटा सा समय-समय पर ड्राइविंग बल की कार्रवाई के तहत अराजक व्यवहार दिखाता है।

एक कोण सीपी के साथ संतुलन की स्थिति से एक सरल लोलक की स्थिति में स्पर्शरेखा बल Fτ = -mg पाप φ गुरुत्वाकर्षण होता है। "माइनस" संकेत का मतलब है कि स्पर्शरेखा घटक पेंडुलम का विचलन की दिशा से विपरीत दिशा में निर्देश दिया। जब पेंडुलम विस्थापन के माध्यम से चर्चा करते हुए एक त्रिज्या एल के साथ एक परिपत्र चाप के साथ एक्स इसकी कोणीय विस्थापन φ = एक्स / एल के बराबर है दूसरे नियम Isaaka Nyutona, त्वरण वेक्टर और शक्ति वांछित मान देने के प्रक्षेपण के लिए तैयार किया गया है:

मिलीग्राम τ = Fτ = -mg पाप एक्स / एल

इस अनुपात के आधार पर, यह स्पष्ट है कि पेंडुलम एक nonlinear प्रणाली, हमेशा के लिए विस्थापन एक्स, एक पाप एक्स / एल अनुपात में होती है, एक शक्ति है कि अपने संतुलन की स्थिति में लौटने जाता है के रूप में नहीं

केवल जब गणितीय पेंडुलम छोटे कंपन करता है, यह एक हार्मोनिक दोलक है। दूसरे शब्दों में, यह एक यांत्रिक हार्मोनिक दोलन करने में सक्षम प्रणाली हो जाता है। लगभग 15-20 ° कोण के लिए यह सन्निकटन मान्य है। बड़े आयाम के साथ पेंडुलम सामंजस्यपूर्ण नहीं है।

एक पेंडुलम के छोटे दोलनों के लिए न्यूटन कानून

यांत्रिक प्रणाली छोटे दोलनों प्रदर्शन करता है तो 2 न्यूटन के कानून इस तरह दिखेगा:

मिलीग्राम τ = Fτ = मी * जी / एल * x।

इस आधार पर, हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि एक सरल लोलक की स्पर्शरेखा त्वरण हस्ताक्षर "शून्य" के साथ अपने विस्थापन के लिए आनुपातिक है। यह एक ऐसी स्थिति है जिससे प्रणाली एक हार्मोनिक दोलक हो जाता है। विस्थापन और त्वरण के बीच मॉड्यूल समानता कारक कोणीय आवृत्ति के वर्ग के बराबर होती है:

ω02 = ग्राम / एल; ω0 = √ जी / एल

यह सूत्र पेंडुलम के इस प्रकार के छोटे दोलनों की प्राकृतिक आवृत्ति को दर्शाता है। इस आधार पर,

टी = 2π / ω0 = 2π√ जी / एल

ऊर्जा के संरक्षण के कानून के आधार पर गणना

पेंडुलम आंदोलनों दोलन गुण ऊर्जा के संरक्षण के कानून की मदद से वर्णित किया जा सकता। यह ध्यान में रखना चाहिए कि जो की संभावित ऊर्जा है एक गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में पेंडुलम:

ई = mgΔh = MGL (1 - क्योंकि α) = mgL2sin2 α / 2

पूर्ण यांत्रिक ऊर्जा गतिज और अधिकतम क्षमता के बराबर होती है: Epmax = Ekmsx = ई

के बाद आप ऊर्जा के संरक्षण के कानून, समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्ष के व्युत्पन्न लेने में लिखा है:

एपि + इक = स्थिरांक

चूंकि स्थिरांक के व्युत्पन्न 0 के बराबर है, तो (एपि + इक) '= 0. राशि के व्युत्पन्न डेरिवेटिव की राशि के बराबर होती है:

एपि '= (मिलीग्राम / एल * x2 / 2)' = मिलीग्राम / 2L * 2x * एक्स '= मिलीग्राम / एल * v + इक' = (mv2 / 2) = एम / 2 (v2) '= एम / 2 * 2 वी * वी '= mv * α,

इसलिए:

मिलीग्राम / एल * xv + MVA = वी (मिलीग्राम / एल * x + मीटर α) = 0।

पिछले सूत्र के आधार पर, हम पाते हैं: α = - ग्राम / एल * x।

गणितीय पेंडुलम के व्यावहारिक अनुप्रयोग

त्वरण मुक्त गिरावट की , अक्षांश के साथ बदलता रहता है क्योंकि पूरे ग्रह पर पपड़ी के घनत्व समान नहीं। कहाँ चट्टानों एक उच्च घनत्व के साथ हो, यह थोड़ा अधिक हो जाएगी। गणितीय पेंडुलम की त्वरण अक्सर अन्वेषण के लिए प्रयोग किया जाता है। विभिन्न खनिजों के लिए उसके सहायता नज़र में। सीधे शब्दों में एक पेंडुलम की दोलनों की संख्या की गणना, यह पृथ्वी की आंत में कोयला या अयस्क पता लगाने के लिए संभव है। यह तथ्य यह है कि इन संसाधनों एक घनत्व और ढीली चट्टानों के नीचे झूठ बोल रही है और अधिक से अधिक का वजन है के कारण है।

गणितीय सुकरात, अरस्तु, प्लेटो, प्लूटार्क, आर्किमिडीज के रूप में इस तरह के प्रमुख विद्वानों द्वारा इस्तेमाल किया पेंडुलम। उनमें से कई का मानना था कि यांत्रिक प्रणाली भाग्य और जीवन को प्रभावित कर सकता है। आर्किमिडीज उनकी गणना के साथ गणितीय पेंडुलम का इस्तेमाल किया। आजकल, कई occultists और मनोविज्ञान अपनी भविष्यवाणियों के कार्यान्वयन, या लोगों को लापता के लिए खोज के लिए इस यांत्रिक प्रणाली का उपयोग करें।

प्रसिद्ध फ्रांसीसी खगोल विज्ञानी और वैज्ञानिक, अपने अनुसंधान के लिए Flammarion भी एक गणितीय पेंडुलम का इस्तेमाल किया। उन्होंने दावा किया कि उसकी मदद से वह एक नए ग्रह की खोज, तुंगुस्का उल्का के उद्भव, और अन्य महत्वपूर्ण घटनाओं की भविष्यवाणी करने में सक्षम था। जर्मनी में द्वितीय विश्व युद्ध (बर्लिन) के दौरान पेंडुलम की एक विशेष संस्थान के रूप में काम किया। आजकल, इस तरह के अनुसंधान परासाइक्लॉजी उपलब्ध म्यूनिख संस्थान नहीं है। पेंडुलम के साथ अपने काम इस संस्था "radiesteziey" कहा जाता है के स्टाफ।