फूरियर बदलना। फास्ट फूरियर बदलना। असतत फूरियर परिणत

फूरियर परिवर्तन - परिवर्तन, एक वास्तविक चर की एक निश्चित समारोह जोड़। इस आपरेशन हर बार जब हम विभिन्न ध्वनियों अनुभव किया जाता है। कान स्वत: "गणना" है, जो केवल उच्च गणित की धारा की परीक्षा के बाद हमारी चेतना कर सकते हैं को पूरा पैदा करता है। एक मानवीय परिवर्तन में अंग सुनवाई निर्माण करती है, जिसमें ध्वनि (एक लोचदार मध्यम में कण, जो, ठोस, तरल या गैसीय माध्यम में लहर के रूप में प्रचार के पारंपरिक कंपन गति) अलग-अलग ऊंचाइयों की टन की ध्वनि के स्तर का लगातार मानों की श्रेणी में दिया गया है। इस के बाद, मस्तिष्क सब परिचित ध्वनि में जानकारी बदल जाता है।

गणितीय फूरियर परिणत

(प्रकाश उत्सर्जन और समुद्र ज्वार से और तारकीय या सौर चक्र के लिए) किया जा सकता है और गणितीय तरीकों के माध्यम से ध्वनि तरंगों या अन्य कंपन प्रक्रियाओं का रूपांतरण। इस प्रकार, इन तकनीकों का उपयोग, कार्य कंपन प्रक्रियाओं sinusoidal घटकों, अर्थात् लहरदार घटता जो कम से कम करने के लिए फिर एक अधिकतम करने के लिए एक न्यूनतम से जाना और फिर, समुद्र की लहर की तरह का सेट शुरू करने से विस्तार किया जा सकता है। फूरियर परिवर्तन - परिवर्तन समारोह जो चरण या प्रत्येक sinusoid एक विशेष आवृत्ति के लिए इसी के आयाम का वर्णन है। चरण वक्र, और आयाम की एक प्रारंभिक बिंदु है - इसकी ऊंचाई का।

फूरियर को बदलने (उदाहरण तस्वीर में दिखाया गया है) एक बहुत शक्तिशाली उपकरण है, जो विज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों में प्रयोग किया जाता है। कुछ मामलों में, यह एक समाधान के रूप में नहीं बल्कि जटिल समीकरणों जो प्रकाश, गर्मी या विद्युत ऊर्जा के प्रभाव में होने वाली गतिशील प्रक्रियाओं का वर्णन किया जाता है। अन्य मामलों में, यह आप, जटिल waveforms में नियमित रूप से घटकों को परिभाषित करने के लिए इस की वजह से रसायन विज्ञान, चिकित्सा और खगोल विज्ञान में विभिन्न प्रयोगात्मक टिप्पणियों की व्याख्या करने के सच हो सकता है की अनुमति देता है।

ऐतिहासिक जानकारी

पहले व्यक्ति इस विधि लागू करने के लिए फ्रांसीसी गणितज्ञ झान बेटिस्ट फयूर था। रूपांतरण, बाद में उसके नाम, मूल रूप से ताप संचालन तंत्र का वर्णन किया जाता था। अपने पूरे वयस्क गर्मी के गुणों का अध्ययन करने में लगे हुए जीवन फूरियर। उन्होंने बीजीय समीकरणों की जड़ों के निर्धारण के गणितीय सिद्धांत के लिए एक बहुत बड़ा योगदान दिया। फूरियर इकोले पॉलीटेक्निक, मिसरशास्र के संस्थान के सचिव पर विश्लेषण के प्रोफ़ेसर थे, शाही सेवा है, जो (उनके नेतृत्व में मलेरिया दलदलों 80 से अधिक हजार वर्ग किलोमीटर के खोखले हो गए थे) ट्यूरिन के लिए सड़क के निर्माण के समय में हलचल मचा दी थी। बहरहाल, यह सब सक्रियता गणितीय विश्लेषण में लगे वैज्ञानिक नहीं रुके। 1802 में यह एक समीकरण है कि ठोस में गर्मी के प्रसार का वर्णन निकाला गया था। 1807 में, वैज्ञानिक इस समीकरण, जिसे "फूरियर परिणत" ज्ञात हो गया सुलझाने के लिए एक विधि की खोज की।

तापीय चालकता विश्लेषण

शोधकर्ताओं ने एक गणितीय विधि का इस्तेमाल किया ताप संचालन तंत्र का वर्णन करने के। एक सुविधाजनक उदाहरण है, जिसमें गणना में कोई परेशानी नहीं एक लोहे की अंगूठी से तापीय ऊर्जा के प्रसार है, एक हिस्सा एक आग में डूबे। बाहर ले जाने के प्रयोगों की अंगूठी की लाल गर्म हिस्सा फूरियर और ठीक रेत में उसे दफनाने। इसके बाद, तापमान माप उसके विपरीत ओर से किया जाता है। प्रारंभ में, गर्मी वितरण अनियमित है: अंगूठी का हिस्सा - ठंड, और अन्य - एक तेज तापमान ढाल गर्म, क्षेत्रों के बीच का निरीक्षण कर सकते हैं। हालांकि, धातु की सतह भर में गर्मी वितरण के दौरान, यह अधिक समान हो जाता है। तो, जल्द ही, इस प्रक्रिया को साइन वेव का रूप ले लेता। सबसे पहले ग्राफ धीरे-धीरे बढ़ जाती है और भी सुचारू रूप से सही रूप में कोज्या या साइन समारोह की भिन्नता के कानूनों कम हो जाती है,। वेव धीरे-धीरे बराबरी और इसके परिणामस्वरूप तापमान अंगूठी की पूरी सतह पर एक समान हो जाता।

इस विधि के लेखक मान लिया है कि प्रारंभिक वितरण काफी अनियमित प्राथमिक साइन लहरों की एक संख्या में विघटित किया जा सकता है। उनमें से प्रत्येक अपने चरण (प्रारंभिक स्थिति) और इसकी अधिकतम तापमान होगा। इस प्रकार एक अधिकतम करने और वापस एक न्यूनतम से ऐसे प्रत्येक घटक परिवर्तन अंगूठी पूर्णांक के समय के आसपास परिक्रमा पूरी करने के लिए। घटक एक अवधि जो मौलिक हार्मोनिक बुलाया गया था, और दो या अधिक समय के साथ मूल्य होने - दूसरे और इतने पर। उदाहरण के लिए, एक गणितीय समारोह है कि अधिकतम तापमान का वर्णन करता है, चरण या स्थिति फूरियर वितरण समारोह के बदलने का आह्वान किया। , साइन और कोसाइन की पंक्तियों प्रारंभिक वितरण देने की राशि में - वैज्ञानिक एक भी घटक है कि गणितीय वर्णन करना मुश्किल है, आसानी से उपयोग उपकरणों के लिए लाया।

विश्लेषण का सार

ठोस वस्तु पर गर्मी वितरण के रूपांतरण के लिए इस विश्लेषण को लागू करना, एक कुंडलाकार आकार वाले, एक गणितज्ञ कि sinusoidal घटकों की अवधि बढ़ रही है अपनी तेजी से उदासीनता के लिए नेतृत्व तर्क। यह स्पष्ट रूप से मुख्य और दूसरा हार्मोनिक्स पर देखा जाता है। अंतिम तापमान एक भी पास में दो बार अधिकतम और न्यूनतम मूल्यों तक पहुँच जाता है, और पहली में - केवल एक बार। यह पता चला दूरी दूसरे हार्मोनिक में गर्मी से यात्रा है कि कोर से आधी है। इसके अलावा, दूसरी छमाही की ढाल भी पहले की तुलना में ढलान हो जाएगा। इसलिए, के बाद से एक अधिक तीव्र थर्मल प्रवाह विधवा न्यूनतम दूरी से गुजरता है, तो यह हार्मोनिक चार बार की तुलना में तेजी मुख्य damped किया जाएगा, समय के एक समारोह के रूप में। प्रक्रिया के बाद में भी तेजी से हो जाएगा। गणितज्ञ माना जाता है कि इस विधि हमें समय के साथ तापमान की प्रारंभिक वितरण की प्रक्रिया की गणना करने के लिए अनुमति देता है।

कॉल समकालीनों

फूरियर एल्गोरिथ्म बदलने समय में गणित के सैद्धांतिक नींव के लिए एक चुनौती बन गया है। उन्नीसवीं सदी की शुरूआत में, Lagrange, लाप्लास, प्वासों, लेगेंद्रे और Biot सहित सबसे प्रमुख वैज्ञानिकों, अपने दावे कि प्रारंभिक वितरण का तापमान मौलिक लहर और उच्च आवृत्ति के रूप में घटकों में विघटित किया जाता है स्वीकार नहीं किया। हालांकि, विज्ञान अकादमी प्राप्त गणितज्ञ परिणाम की अनदेखी नहीं कर सका, और उसे कानून का ताप संचालन के सिद्धांत के लिए पुरस्कार से सम्मानित किया है, साथ ही शारीरिक प्रयोगों के साथ अपनी तुलना का आयोजन। फूरियर दृष्टिकोण में, मुख्य आपत्ति तथ्य यह है कि एक असंतत समारोह कई sinusoidal काम करता है, जो निरंतर कर रहे हैं की राशि का प्रतिनिधित्व करती है है। सब के बाद, वे सीधे फोड़ और घुमावदार लाइनों का वर्णन। समकालीन वैज्ञानिक ऐसी स्थिति, का सामना करना पड़ा कभी नहीं किया था जब असंतत कार्यों ऐसे, द्विघात रेखीय, साइन या प्रदर्शक के रूप में, निरंतर का एक संयोजन द्वारा वर्णित। घटना में है कि एक गणितज्ञ अपने दावे में सही था में, त्रिकोणमितीय कार्यों की एक अनंत श्रृंखला का योग सटीक गति तक सीमित होना चाहिए। जबकि इस तरह के दावे बेतुका लग रहा था। हालांकि, कुछ शोधकर्ताओं (जैसे क्लाउड नेवियर, सोफी Zhermen) के संदेह के बावजूद अनुसंधान सीमा का विस्तार करने और उन्हें गर्मी वितरण के विश्लेषण से बाहर लाया। एक गणित, इस बीच, के कई sinusoidal कार्यों की राशि फोड़ की एक सटीक प्रतिनिधित्व करने के लिए कम हो जाता है कि क्या सवाल भुगतना करना जारी रखा।

200 साल के इतिहास

इस सिद्धांत को दो सदियों से विकसित किया गया है, आज यह अंत में ही बना है। स्थानिक या अस्थायी कार्यों की मदद से sinusoidal घटकों एक आवृत्ति, चरण और आयाम है कि विभाजित किया गया है। इस रूपांतरण दो अलग-अलग गणितीय तरीकों से प्राप्त की है। उनमें से पहले मामले में प्रयोग किया जाता है जब स्रोत एक सतत समारोह, और दूसरा है - इस मामले में जहां यह असतत अलग-अलग परिवर्तन की अधिकता का प्रतिनिधित्व करती है में। मौलिक ऊपर न्यूनतम से और फिर दोगुनी, तिगुनी, और इसके आगे - अभिव्यक्ति मूल्यों, जो असतत अंतराल पर परिभाषित कर रहे हैं से प्राप्त होता है, तो यह कई असतत sinusoidal आवृत्तियों भाव में विभाजित किया जा सकता है। इस राशि को कहा जाता है फूरियर श्रृंखला। प्रारंभिक अभिव्यक्ति प्रत्येक वास्तविक संख्या के मूल्य सेट करते हैं, तो यह कई sinusoidal सभी संभव आवृत्तियों में बांटा जा सकता है। यह एक फूरियर अभिन्न कहा जाता है, और निर्णय अभिन्न समारोह का एक परिवर्तन का तात्पर्य। भले ही प्रत्येक आवृत्ति के लिए, परिवर्तन प्राप्त करने के दो नंबर का संकेत देना चाहिए के लिए विधि का: आयाम और आवृत्ति। इन मूल्यों एकल के रूप में व्यक्त कर रहे हैं जटिल संख्या। एक साथ फूरियर परिवर्तन के साथ अभिव्यक्ति जटिल चर सिद्धांत गणना करने के लिए विभिन्न बिजली सर्किट के डिजाइन की अनुमति दी, यांत्रिक कंपन के विश्लेषण, तरंग प्रसार तंत्र और एक अन्य का अध्ययन।

फूरियर आज बदलना

आजकल, इस प्रक्रिया के अध्ययन के मूल रूप से समारोह से संक्रमण के लिए प्रभावी तरीके खोजने मन में इसे वापस कन्वर्ट करने के लिए करने के लिए निर्भर करता है। यह समाधान कहा जाता है प्रत्यक्ष और प्रतिलोम फूरियर बदलना। इसका क्या मतलब है? आदेश करने के लिए अभिन्न निर्धारित और एक सीधा फूरियर परिणत कर, आप गणितीय तरीकों का उपयोग कर सकते हैं, लेकिन आप विश्लेषणात्मक कर सकते हैं। तथ्य यह है कि जब वे व्यवहार में उपयोग किया जाता है वहाँ कुछ कठिनाइयां हैं के बावजूद, सबसे अभिन्न पहले से ही पाया जाता है और गणितीय हैंडबुक में दर्ज किया गया है। संख्यात्मक तरीके की मदद गणना की जा सकती भाव के साथ, जो के आकार प्रयोगात्मक डेटा, एक समारोह जिसका तालिकाओं में अभिन्न याद कर रहे हैं पर आधारित है, और वे एक विश्लेषणात्मक रूप में कल्पना करना मुश्किल है।

कंप्यूटर इंजीनियरिंग गणना के आगमन के इस तरह के परिवर्तनों बहुत कठिन हो गया है से पहले, वे कहते हैं कि अंक कि लहर समारोह का वर्णन की संख्या पर निर्भर अंकगणितीय आपरेशनों की एक बड़ी संख्या के मैनुअल निष्पादन की आवश्यकता है। आज से मसला हल करने के लिए, विशेष कार्यक्रम, नए को लागू करने की अनुमति दी देखते हैं विश्लेषणात्मक तरीकों। तो, 1965 में, Dzheyms कुली और Dzhon Tyuki सॉफ्टवेयर है कि के रूप में "फास्ट फूरियर रूपांतरण" ज्ञात हो गया बनाया। यह वक्र के विश्लेषण में गुणा की संख्या कम गणना की समय बचाता है। "फास्ट फूरियर रूपांतरण" विधि वर्दी नमूना मूल्यों की एक बड़ी संख्या में वक्र विभाजित पर आधारित है। तदनुसार, गुणा की संख्या अंकों की संख्या को कम करने के एक ही समय में आधे से कम हो जाता है।

लागू करने फूरियर परिणत

इस प्रक्रिया को विभिन्न क्षेत्रों में प्रयोग किया जाता है: में संख्या सिद्धांत, भौतिक विज्ञान, सिग्नल प्रोसेसिंग, साहचर्य, संभाव्यता सिद्धांत, क्रिप्टोग्राफी, सांख्यिकी, समुद्र विज्ञान, प्रकाशिकी, ध्वनिकी, और अन्य ज्यामिति। इसके उपयोग के लिए रिच संभावनाओं उपयोगी सुविधाओं है, जो कहा जाता है की एक संख्या के आधार पर कर रहे हैं "फूरियर परिवर्तन के गुणों।" हमें उन्हें जांच करते हैं।

1. रूपांतरण समारोह एक रेखीय ऑपरेटर है और एक इसी सामान्य एकात्मक है। यह संपत्ति या Parseval प्रमेय के रूप में जाना जाता है, सामान्य मामले में, प्रमेय Plansherelja या Pontrjagin द्वैतवाद।

2. रूपांतरण प्रतिवर्ती है। इसके अलावा, विपरीत परिणाम प्रत्यक्ष को संबोधित करने में के रूप में काफी हद तक समान आकार है।

3. sinusoidal बुनियादी भाव अपने स्वयं के अलग-अलग कार्य हैं। इसका मतलब यह है कि इस तरह के प्रतिनिधित्व में परिवर्तन रेखीय समीकरण एक पारंपरिक बीजीय में लगातार गुणांक के साथ।

4. "घुमाव" प्रमेय के अनुसार, प्रक्रिया प्राथमिक गुणन में एक जटिल आपरेशन बनाता है।

5. असतत फूरियर रूपांतरण जल्दी से "तेज" पद्धति का उपयोग करके कंप्यूटर पर बनाया जा सकता है।

फूरियर के भिन्न रूप को बदलने

1. अक्सर अवधि एक सतत परिवर्तन का उल्लेख करने, विशिष्ट कोणीय आवृत्तियों और आयाम के साथ जटिल घातीय अभिव्यक्ति की राशि के रूप में किसी भी quadratically समाकलनीय अभिव्यक्ति प्रदान किया जाता है। इस प्रजाति के कई अलग अलग रूपों, जो विभिन्न लगातार गुणांक हो सकता है। निरंतर विधि एक रूपांतरण सारणी, गणितीय हैंडबुक में पाया जा सकता है जो भी शामिल है। एक सामान्यीकृत मामले आंशिक रूपांतरण, जिससे इस प्रक्रिया वांछित वास्तविक सत्ता में उठाया जा सकता है है।

2. निरंतर विधि किसी भी के लिए परिभाषित फूरियर श्रृंखला के पहले तकनीक का सामान्यीकरण है समय-समय पर कार्यों या भाव है, जो एक सीमित क्षेत्र में मौजूद हैं और उन्हें sinusoids की एक श्रृंखला के रूप प्रतिनिधित्व करते हैं।

3. असतत फूरियर बदलना। इस विधि वैज्ञानिक गणना और डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग के लिए कंप्यूटिंग में प्रयोग किया जाता है। गणना के इस प्रकार बाहर ले जाने के लिए अलग-अलग अंक, समय-समय पर या सीमित क्षेत्र के बजाय निरंतर फूरियर अभिन्न के एक असतत सेट पर निर्धारित करने के एक समारोह के लिए आवश्यक है। इस मामले में सिग्नल रूपांतरण sinusoids की राशि के रूप में प्रतिनिधित्व किया है। "तेज" पद्धति के उपयोग सभी व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए डिजिटल समाधान के उपयोग की अनुमति देता।

4. विंडो फूरियर को बदलने क्लासिक विधि की एक सामान्यीकृत दृश्य है। मानक समाधान जब संकेत स्पेक्ट्रम प्रयोग किया जाता है, जो इस चर के अस्तित्व की पूरी रेंज में लिया जाता है के विपरीत यहां विशेष रुचि का है केवल स्थानीय आवृत्ति वितरण मूल चर (समय) को बनाए रखते हुए है।

5. दो आयामी फूरियर बदलना। इस विधि डेटा के दो आयामी सरणियों के साथ काम करने के लिए प्रयोग किया जाता है। अन्य में - इस तरह के एक मामले में, रूपांतरण एक ही दिशा में किया जाता है, और उसके बाद।

निष्कर्ष

आज, फूरियर विधि मजबूती से विज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों में आरोपित किया गया है। उदाहरण के लिए, 1962 में यह डीएनए डबल हेलिक्स एक्सरे विवर्तन के साथ संयोजन के रूप में फूरियर विश्लेषण का उपयोग करने का आकार खोला। हाल क्रिस्टल डीएनए फाइबर पर ध्यान केंद्रित, एक छवि है जो विवर्तन द्वारा प्राप्त किया जाता है, फिल्म पर दर्ज हो जाती है। इस तस्वीर फूरियर इस क्रिस्टल संरचना को बदलने का उपयोग करके आयाम के मूल्य के बारे में जानकारी दे दी है। चरण डाटा कार्ड है कि इसी तरह रासायनिक संरचना के विश्लेषण में प्राप्त कर रहे हैं के साथ डीएनए विवर्तन कार्ड की तुलना द्वारा प्राप्त की। नतीजतन, जीव क्रिस्टल संरचना बहाल - मूल कार्य करते हैं।

फूरियर को बदलने बाह्य अंतरिक्ष, अर्धचालक पदार्थों और प्लाज्मा, माइक्रोवेव ध्वनिकी, समुद्र विज्ञान, रडार, भूकम्प विज्ञान और चिकित्सा परीक्षाओं के भौतिक विज्ञान के अध्ययन में एक बड़ी भूमिका निभाते हैं।