अंकगणितीय प्रगति

एक समांतर श्रेणी का कार्य प्राचीन काल में ही अस्तित्व में। वे प्रकट हुए और समाधान की मांग की, क्योंकि वे एक व्यावहारिक आवश्यकता थी।

उदाहरण के लिए, प्राचीन मिस्र के papyri, एक गणितीय सामग्री होने, में से एक में - पेपिरस Rhind (उन्नीसवीं सदी ईसा पूर्व) - शामिल ऐसी समस्या: यदि उनमें से प्रत्येक के बीच अंतर उपायों में से एक आठवीं है, दस लोगों के लिए अनाज की दस उपायों विभाजित करें "।

और प्राचीन यूनानियों के गणितीय लेखन में, वहाँ एक अंकगणितीय प्रगति से संबंधित सुरुचिपूर्ण प्रमेयों हैं। तो, हिप्सिकल्स अलेक्जेंड्रिया (द्वितीय शताब्दी ईसा पूर्व), दिलचस्प कार्यों का एक बहुत की राशि और यूक्लिड के "शुरुआत" के लिए चौदह पुस्तकें जोड़ देने पर तैयार विचार: "अंकगणितीय प्रगति में 1- के सदस्यों की संख्या से अधिक सदस्यों के सम संख्या, दूसरी छमाही के सदस्यों की राशि होने से पीछे के कई सदस्यों के 1/2 के वर्ग। "

हम की एक मनमाना संख्या ले प्राकृतिक संख्या (शून्य से अधिक), 1, 4, 7, ... n-1, एन, ..., जो कहा जाता है संख्यात्मक अनुक्रम।

एक अनुक्रम को दर्शाता है। इतने पर «एक पहली», «एक दूसरे», एक 3-धोने «" और: अनुक्रम संख्या अपने सदस्यों को कहा जाता है और आम तौर पर सूचकांक के साथ पत्र है, जो सदस्य के सीरियल नंबर से संकेत मिलता है (A3, A2, A1 चिह्नित हैं ... पढ़ )।

अनुक्रम अनंत या परिमित हो सकता है।

और अंकगणितीय प्रगति क्या है? यह रूप में समझा जाता संख्या का एक अनुक्रम घ के एक ही नंबर है, जो अंतर प्रगति है के साथ पिछले सदस्य (एन) जोड़कर प्राप्त।

यदि 0 डी <, तो हम एक कम प्रगति की है। अगर डी> 0 है, तो इस प्रगति में वृद्धि होना माना जाता है।

अंकगणितीय प्रगति परिमित कहा जाता है, अगर हम केवल एक ने अपना पहला सदस्यों में से कुछ पर विचार करें। सदस्यों की एक बहुत बड़ी संख्या में यह एक अनंत प्रगति है जब।

किसी भी अंकगणितीय प्रगति निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:

एक = के.एन. + बी, जबकि ख और कश्मीर - कुछ संख्या।

बिल्कुल सच्चा बयान है, जो रिवर्स है: अगर अनुक्रम एक समान सूत्र द्वारा दिया जाता है, यह वास्तव में अंकगणितीय प्रगति है, जो गुण है है:

1. प्रगति के प्रत्येक सदस्य - पिछले अवधि और उसके बाद का समांतर माध्य।
2. :, तो दूसरे से शुरू, प्रत्येक सदस्य - पिछले कार्यकाल के समांतर माध्य, और बाद में, यानी, एक अंकगणितीय प्रगति - हालत, इस क्रम है। यह समानता दोनों प्रगति का संकेत है, इसलिए, आम तौर पर प्रगति की एक विशेषता के रूप में भेजा है।
   - एक अंकगणितीय प्रगति ही अगर इस समीकरण अनुक्रम के सदस्यों के किसी भी, दूसरे के साथ शुरू के लिए सच है अनुक्रम: इसी तरह, प्रमेय कि इस गुण को दर्शाता है सच है।

चार अंकगणितीय प्रगति के लिए किसी भी संख्या की एक विशेषता संपत्ति एक + बजे तक व्यक्त किया जा सकता = एके + अल, यदि n + m = k + एल (एम, एन, कश्मीर - प्रगति की संख्या)।

किसी भी वांछित (एन वें) के सदस्य के एक अंकगणितीय प्रगति में निम्न सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:

एक = A1 + घ (n-1)।

उदाहरण के लिए: एक अंकगणितीय प्रगति में पहले सदस्य (A1) दिया जाता है और तीन के बराबर है, और अंतर (घ) चार के बराबर है। इस प्रगति के पैंतालिसवीं सदस्य के लिए आवश्यक का पता लगाएं। A45 = 1 + 4 (45-1) = 177

फॉर्मूला एक = एके + डी (n - ट) यदि ज्ञात प्रदान की अपनी k- वां सदस्य में से प्रत्येक के माध्यम से एक समांतर श्रेणी के एन-वें अवधि निर्धारित करने के लिए।

एक अंकगणितीय प्रगति का योग शर्तें (पहले n सदस्यों परिमित प्रगति कल्पना करते हुए) गणना निम्न प्रकार है:

Sn = (A1 + एक) n / 2।

आप अंकगणितीय प्रगति में अंतर है, और पहले सदस्य को जानते हैं, अन्य उपयोगी सूत्र गणना करने के लिए:

Sn = ((2A1 + D (n-1)) / 2) * एन।

योग अंकगणितीय प्रगति जो n सदस्यों शामिल हैं, के रूप में गणना कर रहे हैं:

Sn = (A1 + एक) * n / 2।

गणना के लिए चयन फार्मूले की स्थिति और प्रारंभिक डेटा की समस्याओं पर निर्भर करता है।

संख्याओं के किसी भी प्राकृतिक श्रृंखला, 1,2,3 जैसे, ..., n, ...- एक समांतर श्रेणी का सबसे सरल उदाहरण।

इसके अलावा एक अंकगणितीय प्रगति और ज्यामितीय जो गुण और विशेषताओं के पास नहीं है।