क्रेमर के शासन और उसके आवेदन

क्रेमर के शासन - को सुलझाने के लिए सही तरीकों में से एक है रैखिक बीजीय समीकरण (स्लाव) की व्यवस्था। इसकी प्रणाली मैट्रिक्स के निर्धारक के उपयोग के कारण सटीकता, साथ ही प्रमेय के प्रमाण में लगाए गए प्रतिबंध से कुछ के रूप में।

गुणांक था, के साथ रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली के लिए, उदाहरण के लिए, आर की अधिकता - अज्ञात x 1 की वास्तविक संख्या, x2, ..., xn भाव का एक संग्रह है

AI2 x1 + AI2 x2 + ... ऐन xn = साथ द्वि मैं = 1, 2, ..., मी, (1)

जहां aij, द्वि - वास्तविक संख्या। इन भाव से प्रत्येक कहा जाता है एक रेखीय समीकरण, अज्ञात के गुणांकों, द्वि - - समीकरणों के स्वतंत्र गुणांक aij।

(1) के समाधान n आयामी सदिश करने के लिए भेजा एक्स ° = (x1 °, x2 °, ..., xn °) है, जो अज्ञात x 1 के लिए प्रणाली में प्रतिस्थापन पर, x2, ..., xn, सिस्टम में पंक्तियों में से प्रत्येक के लिए सबसे अच्छा समीकरण बन जाता है ।

प्रणाली लगातार कहा जाता है अगर यह कम से कम एक समाधान है, और असंगत है, अगर यह रिक्त समुच्चय का समाधान सेट के साथ मेल खाता है।

यह याद रखना होगा कि आदेश रेखीय समीकरण क्रेमर की विधि का उपयोग कर के सिस्टम के लिए समाधान खोजने के लिए, मैट्रिक्स प्रणाली, वर्ग होने के लिए जो मूल रूप से अज्ञात और प्रणाली में समीकरणों के एक ही नंबर का मतलब है।

तो, क्रेमर की विधि का उपयोग करने के लिए, आप कम से कम पता होना चाहिए क्या मैट्रिक्स है रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली है, और यह जारी किया जाता है। और दूसरी, समझने के लिए मैट्रिक्स और गणना के अपने खुद के कौशल का निर्धारक कहा जाता है।

हमें लगता है कि इस ज्ञान आप के अधिकारी करते हैं। अद्भुत! तो फिर तुम सिर्फ क्रेमर विधि का निर्धारण फार्मूले याद करने के लिए किया है। याद निम्नलिखित संकेतन का उपयोग आसान बनाने के लिए:

• Det - प्रणाली के मैट्रिक्स का मुख्य निर्धारक;

• deti - मैट्रिक्स एक स्तंभ वेक्टर जिसका तत्वों रैखिक बीजीय समीकरणों के सही पहलू हैं करने के लिए मैट्रिक्स के आई-वें स्तंभ की जगह प्रणाली के प्राथमिक मैट्रिक्स से प्राप्त की निर्धारक है;

• n - अज्ञात और प्रणाली में समीकरणों की संख्या।

तब क्रेमर के शासन गणना i-वें घटक xi (i = 1, .. एन) एन आयामी वेक्टर एक्स के रूप में लिखा जा सकता है

xi = deti / Det, (2)।

इस मामले में, Det सख्ती से शून्य से अलग।

प्रणाली के समाधान की अद्वितीयता जब यह संयुक्त रूप से शून्य करने के लिए प्रणाली का मुख्य निर्धारक की असमानता हालत द्वारा प्रदान की जाती है। अन्यथा, अगर (XI) का योग है, चुकता, सख्ती से सकारात्मक है, तो slae एक वर्ग मैट्रिक्स अव्यवहार्य है। यह विशेष रूप से जब कम से कम deti अशून्य में से एक हो सकता है।

उदाहरण 1। क्रेमर के सूत्र का उपयोग कर तीन आयामी LAU प्रणाली को हल करने के।
2 x 1 + x2 + x3 = 31 4,
5 x 1 + x2 2 + x3 = 29,
3 x 1 - x2 + x3 = 10।

निर्णय। मैट्रिक्स के आई-वीं पंक्ति है - हम लाइन द्वारा प्रणाली लाइन, जहां ऐ की मैट्रिक्स लिख लें।
ए 1 = (1 से 2 4), ए 2 = (5 1 2), ए 3 = (3, -1, 1)।
कॉलम मुक्त गुणांक ख = (31 29 10)।

मुख्य प्रणाली निर्धारक Det है
Det = A11 A22 A33 + A12 A23 A31 + A31 A21 A32 - A13 A22 A31 - A11 A32 A23 - A33 A21 A12 = 1 - 20 + 12 - 12 + 2 - 10 = -27।

का उपयोग करते हुए A11 = बी 1, A21 = बी 2, बी 3 A31 = det1 क्रमचय गणना करने के लिए। तो
det1 = B1 A22 A33 + A12 A23 बी 3 + A31 b2 A32 - A13 A22 बी 3 - बी 1 A32 A23 - A33 b2 A12 = ... = -81।

इसी तरह, det2 उपयोग प्रतिस्थापन A12 = बी 1, A22 = बी 2, बी 3 A32 = गणना करने के लिए, और, तदनुसार, det3 गणना करने के लिए - A13 = बी 1, A23 = बी 2, बी 3 A33 =।
135 - तो फिर तुम कि det2 = -108, और det3 = देख सकते हैं।
सूत्रों के अनुसार क्रेमर को खोजने x1 = -81 / (- 27) = 3, x2 = -108 / (- 27) = 4, x3 = -135 / (- 27) = 5।

उत्तर: एक्स ° = (3,4,5)।

इस नियम की प्रयोज्यता पर भरोसा, क्रेमर रेखीय समीकरण को हल की व्यवस्था के विधि एक पैरामीटर कश्मीर के मूल्य के आधार समाधान के संभव संख्या पर प्रणाली की जांच के लिए परोक्ष रूप से इस्तेमाल किया जा सकता, उदाहरण के लिए,।

+ | | X + KY 4 | <= 0 एक समाधान वास्तव में है - - y 4 KX | उदाहरण 2. पैरामीटर कश्मीर असमानता का क्या मूल्यों पर निर्धारित करने के लिए।

निर्णय।
मॉड्यूल समारोह की परिभाषा के द्वारा यह असमानता, केवल किया जा सकता है अगर दोनों भाव शून्य एक साथ कर रहे हैं। इसलिए, इस समस्या रैखिक बीजीय समीकरणों के समाधान पाने के लिए कम हो जाता है

KX - y = 4,
x + KY = -4।

इस प्रणाली का हल केवल अगर यह का मुख्य निर्धारक है
Det = k ^ {2} + 1 अशून्य है। यह स्पष्ट है कि इस हालत पैरामीटर कश्मीर के सभी वास्तविक मूल्यों के लिए संतुष्ट है।

उत्तर: पैरामीटर कश्मीर के सभी वास्तविक मूल्यों के लिए।

इस प्रकार के उद्देश्यों को भी के क्षेत्र में कई व्यावहारिक समस्याओं कम किया जा सकता गणित, भौतिक विज्ञान या रसायन शास्त्र।