समानता क्या है? समानता के सिद्धांतों का पहला संकेत और

"समानता" - एक विषय है कि विद्यार्थियों को प्राथमिक विद्यालय में अब भी कर रहे हैं। यह उसे उसके "असमानता" के रूप में के साथ जुडा हुआ। इन दोनों अवधारणाओं जुड़े हुए हैं। इसके अलावा, उन लोगों के साथ जुड़ा हुआ इस तरह के समीकरण पहचान के रूप में शर्तों। तो समानता क्या है?

समानता की अवधारणा

द्वारा इस अवधि के रिकॉर्ड में बयान में जाना जाता है वहाँ एक संकेत है "=" है। समानता सही और गलत में विभाजित हैं। यदि रिकॉर्डिंग = <,>, के बजाय लायक है जब यह असमानता की बात आती है। वैसे, समानता का पहला संकेत का कहना है कि अभिव्यक्ति के दो हिस्सों उसके परिणाम या रिकॉर्ड में समान है।

समानता की अवधारणा के अलावा, स्कूल भी विषय "संख्यात्मक समानता" का अध्ययन किया। इस बयान के तहत दो सांख्यिक भाव कि = चिह्न के दोनों तरफ खड़े समझने के लिए। उदाहरण के लिए, 2 * 5 + 7 = 17। पद के दोनों बराबर हैं।

संख्यात्मक दृष्टि से इस प्रकार की प्रक्रिया को प्रभावित करने वाले कोष्ठक इस्तेमाल किया जा सकता। इसलिए, 4 नियम जब संख्यात्मक अभिव्यक्ति के परिणामों की गणना करने कि ध्यान में रखा जाना चाहिए।

1. प्रविष्टि यदि कोई कोष्ठक, संचालन एक उच्च कदम से प्रदर्शन कर रहे हैं, जबकि: तृतीय → द्वितीय → आई वहाँ कई कदम एक वर्ग है, तो वे सही करने के लिए छोड़ दिया जाता है।
2. रिकॉर्ड ब्रेसिज़ है, तो कार्रवाई कोष्ठक में किया जाता है, और फिर खाते में कदम उठा रही। शायद कोष्ठक में अधिक कार्रवाई की जाएगी।
3. अभिव्यक्ति एक अंश के रूप में प्रतिनिधित्व कर रहा है, तो आप पहले अंश है, तो विभाजक, तो अंश भाजक से विभाजित की गणना करना चाहिए।
4. रिकॉर्ड नेस्टेड कोष्ठकों हैं, तो पहली अभिव्यक्ति भीतरी कोष्ठक में मूल्यांकन किया जाता है।

तो, अब यह है कि इस तरह समानता स्पष्ट है। भविष्य में, अवधारणा समीकरण, पहचान और उनकी गणना के तरीकों पर चर्चा की जाएगी।

गुण संख्यात्मक समीकरणों

समानता क्या है? इस अवधारणा के अध्ययन संख्यात्मक पहचान की संपत्तियों की एक ज्ञान की आवश्यकता है। निम्न पाठ सूत्रों हमें बेहतर इस विषय को समझने के लिए अनुमति देते हैं। बेशक, इन गुणों हाई स्कूल में गणित के अध्ययन के लिए अधिक उपयुक्त है।

1. अगर अपने दोनों भागों के लिए एक मौजूदा अभिव्यक्ति के लिए एक ही नंबर जोड़ने संख्यात्मक समानता का उल्लंघन नहीं किया जाएगा।

एक ↔ बी = ए + बी = 5 + 5

2. समीकरण का उल्लंघन न हो, अगर दोनों पक्षों गुणा या एक ही नंबर या अभिव्यक्ति है, जो शून्य से अलग कर रहे हैं द्वारा विभाजित हैं।

↔ पी = हे पी = हे ∙ 5 ∙ 5

पी = हे ↔ आर = 5 के बारे में 5

3. एक ही समारोह की पहचान, इस संदर्भ में सभी एक चर के संभावित मूल्य बनाता है के दोनों किनारों को जोड़ना, हम एक नए समीकरण है, जो मूल के बराबर है प्राप्त करते हैं।

एफ (एक्स) = Ψ (एक्स ) ↔ एफ (एक्स) + आर (एक्स) = Ψ (एक्स) + आर (एक्स)

4. किसी भी शब्द या अभिव्यक्ति बराबर के चिह्न के दूसरे पक्ष को हस्तांतरित किया जा सकता है, तो आप संकेत बदलने के लिए की आवश्यकता होगी।

X + Y = 5 - 20 ↔ एक्स = वाई - 20 - 5 ↔ एक्स = वाई - 25

5. गुणा या एक ही समारोह है कि शून्य से अलग और DHS से एक्स के प्रत्येक मान के लिए जिसका अर्थ है है द्वारा दोनों पक्षों को विभाजित, हम एक नए समीकरण है, जो मूल के बराबर है प्राप्त करते हैं।

एफ (एक्स) = Ψ (एक्स ) ↔ एफ (एक्स) ∙ आर (एक्स) = Ψ (एक्स) ∙ आर (एक्स)

एफ (एक्स) = Ψ (एक्स ) ↔ एफ (एक्स): जी (एक्स) = Ψ (एक्स): जी (एक्स)

इन नियमों को स्पष्ट रूप से समानता के सिद्धांत है, जो कुछ शर्तों के अधीन मौजूद है की डिग्री से संकेत मिलता है।

अनुपात की अवधारणा

गणित में संबंधों की समानता के रूप में ऐसी कोई बात नहीं है। इस मामले में यह अनुपात का निर्धारण करने का मतलब है। खंड एक बी को है, तो परिणाम बी करने के लिए एक की संख्या के अनुपात में दो संबंधों के समानता के लिए भेजा के अनुपात है:

कभी कभी अनुपात इस प्रकार लिखा है: एक: बी = सी: डी इसलिए बुनियादी संपत्ति अनुपात: एक * डी = डी * सी , जहां ए और डी - चरम अनुपात, और बी और सी - मध्यम।

पहचान

पहचान समानता है, जो चर कि काम का हिस्सा हैं के सभी संभव मूल्यों के लिए सच हो जाएगा कहा जाता है। पहचान वर्णमाला या संख्यात्मक समानता के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है।

हूबहू बराबर भाव कि अज्ञात चर, जो एक पूरे के दो हिस्सों समानता कर सकते हैं के दोनों पक्षों को शामिल कर रहे हैं।

हम किसी अन्य के द्वारा एक अभिव्यक्ति के प्रतिस्थापन है, जो के बराबर है, अगर यह पहचान परिवर्तन की बात आती आकर्षित करते हैं। इस मामले में, आप संक्षिप्त गुणा के फार्मूले, गणित और दूसरे की पहचान के कानूनों का उपयोग कर सकते हैं।

एक अंश को कम करने के लिए, यह पहचान परिवर्तनों को पूरा करने के लिए आवश्यक है। उदाहरण के लिए, किसी दिए गए अंश। परिणाम प्राप्त करने के लिए आपको संक्षिप्त गुणन, गुणन, सरलीकरण और अंशों की अभिव्यक्ति की कमी के सूत्रों का उपयोग करना चाहिए।

यह देखते हुए कि इस अभिव्यक्ति समान होगा जब भाजक 3 के बराबर नहीं है लायक है।

पहचान साबित करने के लिए 5 तरीके

आदेश पहचान साबित करने के लिए आपको भाव के परिवर्तन को पूरा करने की जरूरत है।

मैं विधि

यह राशि संचालन करने के लिए बाईं ओर परिवर्तित करने के लिए आवश्यक है। परिणाम दाईं ओर है, और हम कह सकते हैं कि पहचान साबित कर दिया है।

द्वितीय विधि

अभिव्यक्ति के परिवर्तन पर सभी कार्यों सही पक्ष में पाए जाते हैं। जोड़-तोड़ का परिणाम बाएं हाथ की ओर है। दोनों भागों समान हैं, तो पहचान साबित कर दिया है।

तृतीय विधि

"परिवर्तन" अभिव्यक्ति के दोनों भागों में होते हैं। इसके परिणामस्वरूप हमने दो समान भागों मिलता है, पहचान साबित कर दिया है।

चतुर्थ विधि

दाएँ हाथ की ओर के बाईं ओर से घटाया जाता है। बराबर परिवर्तनों के परिणामस्वरूप शून्य मिलना चाहिए। फिर हम अभिव्यक्ति की पहचान के बारे में बात कर सकते हैं।

वी रास्ता

बाईं के दाईं ओर से घटाया जाता है। सभी राशि तथ्य यह है कि इस सवाल का जवाब शून्य था करने के लिए कम बदलने के लिए। केवल इस मामले में हम समानता की पहचान के बारे में बात कर सकते हैं।

पहचान के बुनियादी गुण

गणित में समीकरण गुणों को अक्सर गणना प्रक्रिया में तेजी लाने के लिए उपयोग किया जाता है। एक बीजीय पहचान निश्चित भाव की गणना की बुनियादी प्रक्रिया के कारण मिनट लंबा घंटे लगते हैं बल्कि।

• X + Y = Y + X
• एक्स + (वाई + C) = (X + Y) + C
• + X 0 = एक्स
• एक्स + (-X) = 0
• एक्स ∙ (वाई + C) = एक्स X + Y ∙ ∙ सी
• एक्स ∙ (वाई - सी) एक्स = ∙ वाई - एक्स ∙ सी
• (X + Y) ∙ (सी + ई) = एक्स + एक्स सी ∙ ∙ ∙ ई + V सी + वी ई ∙
• एक्स + (वाई + C) = X + Y + C
• एक्स + (वाई - सी) = X + Y - सी
• एक्स - (वाई + C) = एक्स - वाई - सी
• एक्स - (वाई - सी) = एक्स - वाई + C
• एक्स ∙ वाई = Y ∙ एक्स
• ∙ एक्स (वाई सी ∙) = (एक्स ∙ वाई) ∙ सी
• एक्स 1 = एक्स ∙
• ∙ एक्स 1 / एक्स = 1, जिसमें एक्स ≠ 0

संक्षिप्त गुणा के फार्मूले

इसके मूल सूत्र में गुणा समीकरणों संक्षिप्त कर रहे हैं। वे अपनी सादगी की वजह से गणित के क्षेत्र में कई समस्याओं को हल करने और उपयोग में आसानी के लिए मदद करते हैं।

• (ए + बी) ² = एक ² + 2 एक ∙ ∙ बी + बी ² - संख्याओं के वर्गमूल राशि जोड़ी;

• (ए - बी) ² = एक ² - एक 2 ∙ ∙ बी + बी ² - चुकता अंतर संख्या की एक जोड़ी;

• (सी + बी) ∙ (सी - सी) = सी ² - बी ² - वर्गों का अंतर;

• ; घन राशि - (ए + बी) = ³ + 3 ए ³ ए ² ∙ ∙ में + 3 ∙ एक बी ² + बी ³ ∙

• (ए - बी) ³ = एक ³ - एक ² 3 ∙ ∙ बी + एक 3 ∙ ∙ वी ² - वी ³ - घन अंतर;

• (पी + बी) ∙ (पी ² - पी ∙ बी + बी ²⁾ = एफ ^{3 3} में + - घनों के योग;

• (पी - बी) ∙ (पी ² + P ∙ बी + बी ²⁾ = पी ³ - बी ³ - अंतर क्यूब्स।

अगर आप हर संभव तरीके में यह सरल बनाकर सामान्य रूप के लिए एक बहुपद नेतृत्व करना चाहते हैं संक्षिप्त गुणा सूत्र अक्सर प्रयोग किया जाता है। का प्रतिनिधित्व करते हुए सूत्र साबित किया जा सकता है, बस कोष्ठक खोल सकते हैं और इसी तरह के शब्द में परिणाम।

समीकरण

सवाल अध्ययन करने के बाद समीकरण क्या है, आप अगले चरण पर आगे बढ़ सकते हैं: समीकरण क्या है। समीकरण समानता, जिसमें अज्ञात मात्रा वर्तमान समझ में आ के तहत। समीकरण का समाधान एक चर, जिसमें पूरे अभिव्यक्ति की दो भागों बराबर होगा के सभी मूल्यों को खोजने के कहा जाता है। इसके अलावा, वहाँ नौकरियों जिसमें यह समीकरण का समाधान खोजने के लिए असंभव है। इस मामले में हम कहते हैं कि कोई जड़ों देखते हैं कि।

एक नियम के रूप में, एक समाधान के रूप अज्ञात समानता पूर्णांकों देने के लिए। हालांकि, वहाँ मामलों में जहां जड़ों वेक्टर काम करता है, और अन्य वस्तुओं रहे हैं।

समीकरण गणित में सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक है। वैज्ञानिक और व्यावहारिक समस्याओं के अधिकांश को मापने या किसी मूल्य की गणना नहीं है। इसलिए, आप अनुपात जो काम की सभी शर्तों को पूरा करेगा होना चाहिए। इस अनुपात की प्रक्रिया में समीकरण या समीकरणों के सिस्टम प्रकट होता है।

आमतौर पर अज्ञात के साथ समानता के समाधान के लिए एक जटिल समीकरण के परिवर्तन को कम कर देता है, और एक साधारण आकार करने के लिए इसे कम करने। यह याद रखना होगा कि रूपांतरण दोनों भागों के संबंध में बाहर किया जाना चाहिए, अन्यथा उत्पादन गलत परिणाम हो जाएगा।

4, समीकरण को हल करने के लिए एक विधि

दिए गए समीकरण का एक समाधान तक एक और है कि पहले के बराबर है की जगह को समझते हैं। इस तरह के एक प्रतिस्थापन पहचान परिवर्तन के रूप में जाना जाता है। समीकरण को हल करने के लिए आपको किसी एक तरीके से उपयोग करना चाहिए।

1. एक अभिव्यक्ति एक और है, जो जरूरी पहले एक जैसे होंगे ने ले ली है। उदाहरण: (3 ∙ x + 3) ² = 15 + 10 x ∙। इस अभिव्यक्ति के लिए 9 ∙ एक्स ² + 18 x ∙ = 15 + 9 + 10 x ∙ परिवर्तित किया जा सकता है।

2. एक तरफ से दूसरे के लिए अज्ञात के बराबर सदस्यों के हस्तांतरण। इस मामले में यह संकेत सही ढंग से बदलने के लिए आवश्यक है। थोड़ी सी भी गलती बर्बाद सब काम किया। उदाहरण के लिए, पिछले "नमूना" ले लो।

9 ∙ एक्स ² + 12 x ∙ + 4 = 15 + 10 x ∙

9 ∙ एक्स ² + x 12 4 ∙ - ∙ x 15 - 10 = 0

9 ∙ एक्स ² - x 3 ∙ - 6 = 0

तब समीकरण विभेदक का उपयोग कर हल किया जाता है।

3. गुणा संख्या बराबर या अभिव्यक्ति है कि हालांकि, यह याद है कि जब नए समीकरण बदलने से पहले समानता के बराबर नहीं है, तो जड़ों की राशि भिन्न हो सकते हैं लायक है 0. के बराबर नहीं है के दोनों ओर।

4. समीकरण के दोनों ओर Squaring। इस विधि बस उल्लेखनीय है, खासकर जब समानता एक अपरिमेय अभिव्यक्ति, कि है, है का वर्गमूल इसके तहत अभिव्यक्ति। वहाँ एक चेतावनी है: यदि आप भी डिग्री में एक समीकरण का निर्माण, तो बाहरी जड़ों, जो काम का सार बिगाड़ना दिख सकता है। और अगर यह एक रूट लेने के लिए गलत है, तो समस्या में प्रश्न के अर्थ स्पष्ट नहीं है। उदाहरण: → 1 │7 ∙ h│ = 35) 7 ∙ एक्स = 35 और 2) - 7 ∙ एक्स = 35 → समीकरण सही ढंग से हल किया जा जाएगा।

तो, यह लेख समीकरणों और पहचान के रूप में इस तरह के शब्दों के बारे में है। वे सब अवधारणा के "समानता" से आते हैं। एक बड़ी मदद की हद तक कुछ समस्याओं के समाधान के बराबर भाव के विभिन्न प्रकार के कारण।