विमान का समीकरण: कैसे बनाने के लिए? विमान समीकरणों के प्रकार

विमान अंतरिक्ष अलग अलग तरीकों से (एक डॉट और वेक्टर, वेक्टर और दो अंक, तीन अंक, आदि) में परिभाषित किया जा सकता है। यह इस बात का ध्यान के साथ, हवाई जहाज का समीकरण विभिन्न प्रकार कर सकते हैं। इसके अलावा कुछ विशेष परिस्थितियों में विमान हो सकता है समानांतर, सीधा, अन्तर्विभाजक, आदि इस पर और इस लेख में बात करेंगे। हम हवाई जहाज और न केवल के सामान्य समीकरण बनाने के लिए सीखना होगा।

समीकरण के सामान्य रूप

मान लीजिए आर अंतरिक्ष _3, है जो एक आयताकार समन्वय प्रणाली XYZ है। हम एक वेक्टर α, जो वेक्टर α के अंत के माध्यम से प्रारंभिक बिंदु ओ से जारी किया जाएगा विमान पी जो यह करने के लिए खड़ा है आकर्षित परिभाषित करते हैं।

एक मनमाना बिंदु क्यू = (एक्स, वाई, जेड) में पी को दर्शाते हैं। बिंदु Q संकेत पत्र पी की त्रिज्या वेक्टर। वेक्टर की लंबाई α पी = IαI और Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ) के बराबर होती है।

इस इकाई वेक्टर, जो वेक्टर α के रूप में दिशा में निर्देशित किया गया है। α, β और γ - कोण कि वेक्टर और सकारात्मक दिशाओं के बीच का गठन कर रहे Ʋ अंतरिक्ष कुल्हाड़ियों एक्स, वाई, जेड क्रमशः रहे हैं। पर वेक्टर QεP Ʋ एक बिंदु के प्रक्षेपण एक निरंतर जो पी (पी, Ʋ) = पी (r≥0) के बराबर है।

उपरोक्त समीकरण जब पी = 0 सार्थक है। इस मामले में केवल एन विमान, पार करेगा बिंदु ओ (α = 0) है, जो मूल है, और इकाई वेक्टर Ʋ, बिंदु O से रिहा, पी करने के लिए खड़ा हो जाएगा, हालांकि इसकी दिशा, जिसका अर्थ है कि वेक्टर Ʋ निर्धारित हस्ताक्षर करने के लिए। पिछला समीकरण हमारे विमान पी है, वेक्टर रूप में व्यक्त किया। लेकिन उसके निर्देशांकों को ध्यान में रखते है:

पी बराबर या उससे अधिक को 0 पर हम सामान्य रूप में विमान समीकरण पाया है है।

सामान्य समीकरण

निर्देशांक में समीकरण किसी भी संख्या है कि शून्य के बराबर नहीं है से गुणा करें, तो हम यह करने के लिए समीकरण बराबर है कि बहुत विमान को परिभाषित करता है प्राप्त करते हैं। यह निम्न प्रपत्र करना होगा:

इधर, ए, बी, सी - शून्य से अलग एक साथ की संख्या है। इस समीकरण विमान के सामान्य रूप से समीकरण कहा जाता है।

विमानों के समीकरण। विशेष मामलों

समीकरण आम तौर पर अतिरिक्त शर्तों के साथ संशोधित किया जा सकता। उनमें से कुछ पर विचार करें।

मान लें कि गुणांक एक 0. है यह बताता है कि पूर्व निर्धारित अक्ष बैल को विमान समानांतर। इस मामले में, समीकरण के रूप में परिवर्तन: वू + CZ + डी = 0।

इसी प्रकार, समीकरण के फार्म और निम्न स्थितियों के साथ अलग अलग होंगे:

• सबसे पहले, अगर बी = 0, कुल्हाड़ी + CZ + डी = 0 करने के लिए समीकरण परिवर्तन, जो अक्ष ओए को समानांतरवाद संकेत मिलता है।
• दूसरे, यदि सी = 0, समीकरण कुल्हाड़ी + द्वारा + डी = 0 में तब्दील हो जाता है कि पूर्व निर्धारित अक्ष ओज के समानांतर बारे में क्या कहना है।
• तीसरा, अगर डी = 0, समीकरण के रूप में कुल्हाड़ी + द्वारा + Cz = 0, जो मतलब यह होगा कि विमान काटती है हे (मूल) में दिखाई देगा।
• चौथा, अगर एक = बी = 0, CZ + डी = 0 करने के लिए समीकरण परिवर्तन, जो ऑक्सी समानांतरवाद साबित होगा।
• पांचवां, अगर B = C = 0, समीकरण कुल्हाड़ी + डी = 0, जिसका अर्थ है कि विमान Oyz के समानांतर है हो जाता है।
• छठे, एक = सी = 0, समीकरण रूप वू + डी = 0, लेता है, तो जैसे कि, समानांतरवाद Oxz को रिपोर्ट करेंगे।

क्षेत्रों में समीकरण के फार्म

मामले में जहां संख्या ए, बी, सी, डी शून्य से अलग, समीकरण के रूप (0) के रूप में निम्नानुसार हो सकता है:

एक्स / एक + y / b + z / सी = 1,

जिसमें एक = डी / ए, बी = डी / बी, सी = डी / सी

हम टुकड़ों में विमान का एक परिणाम के समीकरण के रूप में प्राप्त करते हैं। यह ध्यान देने योग्य है कि इस विमान निर्देशांक (एक, 0,0), ओए के साथ बिंदु पर x- अक्ष एक दूसरे को काटना होगा - (0, बी, 0), और ओज - (0,0, रों)।

यह देखते हुए समीकरण x / एक + y / b + z / सी = 1, यह एक पूर्व निर्धारित समन्वय प्रणाली के लिए नियुक्ति विमान रिश्तेदार कल्पना करने के लिए मुश्किल नहीं है।

सामान्य वेक्टर के निर्देशांक

विमान पी करने के लिए सामान्य वेक्टर n निर्देशांक है कि विमान के सामान्य समीकरण है, यानी n (ए, बी, सी) के गुणांकों हैं।

आदेश सामान्य n के निर्देशांक निर्धारित करने के लिए यह विमान दिए गए सामान्य समीकरण पता करने के लिए पर्याप्त है।

क्षेत्रों में समीकरण, जो उपयोग करते समय प्रपत्र एक्स / एक + y / b + z / सी = 1, के रूप में जब सामान्य समीकरण का उपयोग कर किसी भी सामान्य वेक्टर के निर्देशांक लिखा जा सकता है किसी दिए गए विमान: (1 / एक + 1 / बी + 1 / ग)।

ऐसा नहीं है कि मदद करने के सामान्य वेक्टर विभिन्न समस्याओं को हल करने पर ध्यान देना चाहिए। सबसे आम समस्या है, सबूत सीधा या समानांतर विमानों में शामिल कर रहे हैं विमानों या विमानों और सीधी रेखाओं के बीच कोण के बीच कोण खोजने का कार्य।

विमान समीकरण और बिंदु सामान्य वेक्टर के निर्देशांक के अनुसार टाइप करें

एक अशून्य वेक्टर एन, एक दिया तल पर लम्ब, एक पूर्व निर्धारित विमान के लिए सामान्य (सामान्य) कहा जाता है।

मान लीजिए कि समन्वय अंतरिक्ष में (एक आयताकार समन्वय प्रणाली) Oxyz सेट करें:

• निर्देशांक के साथ Mₒ बिंदु (hₒ, uₒ, zₒ);
• शून्य वेक्टर एन = एक * मैं + बी * j + सी * कश्मीर।

आप हवाई जहाज कि सामान्य n करने के लिए खड़ा Mₒ बिंदु से होकर गुजरता है के समीकरण बनाने की जरूरत है।

अंतरिक्ष में हम किसी भी मनमाना बिंदु का चयन और एम (एक्स, वाई, जेड) को दर्शाते हैं। प्रत्येक बिंदु एम (एक्स, वाई, जेड) की त्रिज्या वेक्टर चलो हो जाएगा r = x * मैं + y * j + z * कश्मीर, और एक बिंदु Mₒ की त्रिज्या वेक्टर (uₒ, hₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * मैं uₒ + * j + zₒ * कश्मीर। बिंदु एम किसी दिए गए विमान से संबद्ध हो जाएगी, अगर वेक्टर MₒM वेक्टर n करने के लिए खड़ा होना। हम अदिश उत्पाद का उपयोग ओर्थोगोनालिटी की हालत लिखें:

[MₒM, n] = 0।

MₒM = r-rₒ के बाद से, हवाई जहाज का वेक्टर समीकरण इस तरह दिखेगा:

[आर - rₒ, n] = 0।

इस समीकरण भी एक और आकार हो सकता है। इस प्रयोजन के लिए अदिश उत्पाद के गुण, और समीकरण के बाईं ओर बदल दिया। [आर - rₒ, n] = [आर, एन] - [rₒ, n]। [Rₒ, एन] के रूप में निरूपित किया है, तो हम निम्न समीकरण प्राप्त: [आर, एन] - एक = 0 या [आर, n] = रों है, जो दिए गए अंक है कि विमान हैं की त्रिज्या-वैक्टर के सामान्य वेक्टर पर अनुमानों के भक्ति व्यक्त करता है।

अब आप समन्वय प्रकार रिकॉर्डिंग विमान हमारे वेक्टर समीकरण प्राप्त कर सकते हैं [r - rₒ, n] = 0. के बाद से आर-rₒ = (एक्स hₒ) * मैं + (y-uₒ) * j + (जेड-zₒ) * कश्मीर, और एन = एक * मैं + बी * j + सी * कश्मीर, हमने:

यह पता चला हम समीकरण विमान सामान्य n करने के लिए खड़ा बिंदु के माध्यम से गुजर बनाई है है:

ए * (एक्स hₒ) + बी * (y uₒ) एस * (जेड-zₒ) = 0।

विमान समीकरण और वेक्टर विमान समरेख के दो अंक के निर्देशांक के अनुसार टाइप करें

हम दो मनमाना अंक एम '(एक्स', वाई ', जेड') और एम "(एक्स", y ", Z"), और साथ ही वेक्टर (एक ', एक ", एक ‴) को परिभाषित।

अब हम समीकरण पूर्व निर्धारित विमान जो मौजूदा बिंदु एम 'और एम "के माध्यम से गुजरता है, और निर्देशांक एम (एक्स, वाई, जेड) किसी दिए गए वेक्टर के समानांतर के साथ प्रत्येक बिंदु लिख सकते हैं।

इस प्रकार M'M वैक्टर एक्स = {एक्स ', वाई-वाई'; ZZ '} और एम "एम = {x" -x', वाई 'y'; Z "-z '} वेक्टर साथ समतलीय होना चाहिए एक = (एक ', एक ", एक ‴), जिसका अर्थ है कि (M'M एम" एम, एक) = 0।

तो अंतरिक्ष में एक विमान के बारे में हमारी समीकरण इस तरह दिखेगा:

विमान समीकरण के प्रकार, तीन अंक को पार

के हम तीन अंक है मान लीजिए: (एक्स ', वाई', z '), (एक्स', वाई ', z'), (एक्स ‴ Have ‴, z ‴) है, जो एक ही पंक्ति से संबंधित नहीं है। यह विमान तीन अंक निर्दिष्ट से गुजरने वाले समीकरण लिखने के लिए आवश्यक है। ज्यामिति सिद्धांत का तर्क है कि विमान के इस प्रकार में मौजूद है, यह सिर्फ एक और केवल है। चूंकि यह विमान बिंदु काटती है (एक्स ', वाई', z '), उसके समीकरण रूप होगा:

इधर, ए, बी, और सी एक ही समय में शून्य से अलग हैं। इसके अलावा दिया विमान दो अधिक अंक काटती है (एक्स ", y", z ") और (एक्स ‴, वाई ‴, z ‴)। इस संबंध में स्थिति इस तरह का बाहर किया जाना चाहिए:

अब हम एक समान प्रणाली बना सकते हैं समीकरण (लीनियर) की अज्ञात u, v, w के साथ:

में हमारे मामले एक्स, वाई या जेड मनमाना बिंदु जो समीकरण (1) को संतुष्ट करता है। (1) समीकरण और समीकरणों (2) और (3) ऊपर चित्र में संकेत दिया समीकरणों के सिस्टम की एक प्रणाली को देखते हुए, वेक्टर संतुष्ट एन (ए, बी, सी) जो nontrivial है। ऐसा इसलिए है क्योंकि इस प्रणाली के निर्धारक शून्य है।

समीकरण (1) है कि हम मिल गया है, इस विमान का समीकरण है। 3 बिंदु वह वास्तव में चला जाता है, और यह जांच करने के लिए आसान है। ऐसा करने के लिए, हम पहली पंक्ति में तत्वों द्वारा निर्धारक का विस्तार करें। की मौजूदा गुण निर्धारक इस प्रकार है कि हमारे विमान एक साथ तीन मूल रूप से पूर्व निर्धारित बिंदु काटती है (एक्स ', वाई', z '), (एक्स ", y", z "), (एक्स ‴, वाई ‴, z ‴)। तो हम हमारे सामने कार्य करने का निर्णय लिया।

विमानों के बीच डिहेड्रल कोण

डिहेड्रल कोण एक स्थानिक ज्यामितीय आकार दो अर्द्ध विमानों कि एक सीधी रेखा से निर्गत होना द्वारा गठित है। दूसरे शब्दों में, अंतरिक्ष में जो आधा विमानों के लिए सीमित है का हिस्सा है।

मान लीजिए कि हमें निम्नलिखित समीकरण के साथ दो विमान है:

हम जानते हैं कि वेक्टर एन = (ए, बी, सी) और N¹ = (à¹, H¹, S¹) पूर्व निर्धारित विमानों के अनुसार सीधा कर रहे हैं। इस संबंध में, वैक्टर एन और N¹ बराबर कोण (डिहेड्रल) है, जो इन विमानों के बीच स्थित है के बीच φ कोण। अदिश उत्पाद द्वारा दिया जाता है:

NN¹ = | एन || N¹ | क्योंकि φ,

ठीक है क्योंकि

cosφ = NN¹ / | एन || N¹ | = (AA¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ (a² + s² + V²)) * (√ (à¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²))।

ऐसा नहीं है कि 0≤φ≤π पर विचार करने के लिए पर्याप्त है।

असल में दो विमानों कि एक दूसरे को काटना, प्रपत्र दो कोण (डिहेड्रल): φ ₁ और φ _2। उनका योग π के लिए (φ ₁ + φ ₂ = π) के बराबर है। उनके कोसाइन का सवाल है, उनके शुद्ध मान, बराबर हैं, लेकिन वे विभिन्न संकेत कर रहे हैं, वह है क्योंकि φ ₁ = -cos φ _2। समीकरण में (0) ए, बी और -एक, -B की सी और -सी क्रमश: समीकरण ने ले ली है, तो हम प्राप्त, एक ही विमान केवल कोण समीकरण क्योंकि φ में φ का निर्धारण करेगा, = एनएन ¹ / | एन || एन ¹ | यह π-φ से बदल दिया जाएगा।

सीधा विमान के समीकरण

विमान सीधा कहा जाता है, जो बीच के कोण 90 डिग्री है। ऊपर प्रस्तुत सामग्री का उपयोग करना, हम दूसरे के लंबवत एक विमान के समीकरण पा सकते हैं। मान लीजिए हम दो विमानों है: कुल्हाड़ी + द्वारा + CZ + डी = 0, और + A¹h V¹u S¹z + + डी = 0। हम कह सकते हैं कि वे orthogonal रहे हैं क्योंकि = 0। यह है कि NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ + = 0 का मतलब है।

एक समानांतर विमान के समीकरण

यह दो समानांतर विमानों जो आम में कोई अंक शामिल करने के लिए कहा जाता है।

हालत समानांतर विमानों के (उनके समीकरणों पिछले पैराग्राफ में के रूप में ही कर रहे हैं) है कि वैक्टर एन और N¹ है, जो उन्हें करने के लिए खड़ा कर रहे हैं, समरेख। इसका मतलब है कि निम्न स्थितियों में समानता मिले हैं:

ए / ๠= बी / सी = H¹ / S¹।

आनुपातिक दृष्टि से विस्तार कर रहे हैं - ए / ๠= बी / सी = H¹ / S¹ = DD¹,

इस है कि एक ही के डेटा विमान इंगित करता है। इसका मतलब यह है कि समीकरण कुल्हाड़ी + द्वारा + CZ + डी = 0 और + A¹h V¹u S¹z + + D¹ = 0 एक विमान का वर्णन।

विमान को बिंदु से दूरी

मान लीजिए कि हमें एक विमान पी है, जो (0) द्वारा दिया जाता है की है। यह निर्देशांक के साथ बिंदु से दूरी खोजने के लिए आवश्यक है (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ। , आप इसे बनाने के लिए विमान द्वितीय सामान्य दिखने में समीकरण लाने की जरूरत है:

(Ρ, v) पी (r≥0) =।

इस मामले में, ρ (एक्स, वाई, जेड) हमारे बिंदु Q, एन पी पर स्थित की त्रिज्या वेक्टर है - एन सीधा, जो शून्य बिंदु से जारी किया गया था की लंबाई है, वी - इकाई वेक्टर, जो दिशा एक में व्यवस्थित किया जाता है।

अंतर ρ-ρº एक बिंदु क्यू = (एक्स, वाई, जेड) की त्रिज्या वेक्टर, एन से संबंधित और क्यू ₀ = इस तरह के एक वेक्टर, जिनमें से पर प्रक्षेपण का निरपेक्ष मान (hₒ, uₒ, zₒ) एक भी बिंदु की त्रिज्या वेक्टर वी के बराबर होती है दूरी घ, जो क्यू से खोजने के लिए आवश्यक है = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) पी रहे हैं:

डी = | (ρ-ρ ^0, वी) |, लेकिन

(Ρ-ρ ^0, वी) = (ρ, वी ) - (ρ ^0, वी) = पी (ρ ^0, वी)।

तो यह पता चला है,

d = | (ρ ^0, वी) पी |।

अब यह स्पष्ट है कि क्यू विमान पी ₀ से दूरी घ गणना करने के लिए है, यह सामान्य दृश्य विमान समीकरण का उपयोग करने के लिए आवश्यक है, पी के बाईं ओर शिफ्ट, और एक्स, वाई के अंतिम स्थान पर, z स्थानापन्न (hₒ, uₒ, zₒ)।

इस प्रकार, हम जिसके परिणामस्वरूप अभिव्यक्ति है कि आवश्यक है घ का निरपेक्ष मान पाते हैं।

भाषा के मापदंडों का उपयोग करना, हम स्पष्ट मिलती है:

d = | Ahₒ Vuₒ + + Czₒ | / √ (a² + V² + s²)।

यदि निर्दिष्ट बिंदु Q ₀ वेक्टर के बीच, मूल रूप में विमान पी के दूसरे पक्ष पर है तो ρ-ρ ⁰ और वी है , अधिक कोण इस प्रकार:

घ = - (ρ-ρ ^0, वी) = (ρ ^0, वी) -p> 0।

मामला है जब बिंदु Q ₀ यू के एक ही तरफ स्थित मूल के साथ संयोजन के रूप में, न्यून कोण बनाई गई है में, वह यह है कि:

d = (ρ-ρ ^0, वी) पी = - (ρ ^0, वी)> 0।

परिणाम है कि पूर्व के मामले (ρ ^0, वी)> पी, दूसरे में (ρ ^0, वी)

और उसके स्पर्श विमान समीकरण

स्पर्शज्यात्व Mº के बिंदु पर सतह के लिए हवाई जहाज के संबंध में - एक विमान वक्र सतह पर उस बिंदु के माध्यम से तैयार करने के लिए सभी संभव स्पर्श से युक्त।

समीकरण एफ (एक्स, वाई, जेड) = 0 स्पर्श विमान स्पर्श बिंदु Mº के समीकरण में (uº, hº, zº) होगा की इस सतह प्रपत्र के साथ:

एफ _एक्स (hº, uº, zº) (hº x) + एफ _एक्स (hº, uº, zº) (uº वाई) + F _एक्स (hº, uº, zº) (जेड-zº) = 0।

सतह स्पष्ट रूप से z = च (एक्स, वाई) सेट कर दिया जाता है, तो स्पर्श विमान समीकरण द्वारा वर्णित है:

z-zº = f (hº, uº) (hº x) + f (hº, uº) (y uº)।

दो विमानों के चौराहे

में त्रि-आयामी अंतरिक्ष एक समन्वय प्रणाली (आयताकार) Oxyz, यह देखते हुए दो विमानों पी 'और पी' जो आपस में मिलते और मेल नहीं है। किसी भी विमान है, जो एक आयताकार समन्वय प्रणाली सामान्य समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है के बाद से, हम मानते हैं कि n + बी एक्स '+ y' "= 0 और ए और एन समीकरणों A'x + V'u S'z + + D से परिभाषित कर रहे हैं '" साथ "z + डी" = 0। इस मामले में हम विमान पी 'और सामान्य n "(ए', बी ', सी') विमान पी के 'के सामान्य एन' (ए ', बी', सी ') है। हमारे विमान के रूप में समानांतर नहीं हैं और मेल नहीं खाती है, तो इन वैक्टर समरेख नहीं हैं। एन '≠ n "↔ (ए', बी ', सी') ≠ (λ * और", λ * में ", λ * सी"), λεR: गणित की भाषा का उपयोग करते हुए, हम इस शर्त के रूप में लिखा जा सकता है है। आइए सीधी रेखा जो चौराहे पी पर स्थित है ' "∩ पी और पी, इस मामले में एक = पी में, पत्र एक से दर्शाया जाने दिया जाएगा।"

और - एक पंक्ति अंक (सामान्य) विमानों पी 'और पी' की अधिकता से मिलकर। इसका मतलब यह है कि लाइन एक से संबंधित किसी भी बिंदु के निर्देशांक, एक साथ समीकरण A'x + V'u S'z + + डी '= 0 और ए' एक्स + बी '+ सी वाई "= 0 z + डी" को पूरा करना चाहिए। इसका मतलब है कि बिंदु के निर्देशांक निम्नलिखित समीकरणों की एक विशेष समाधान हो जाएगा:

नतीजा यह है कि समीकरणों के इस प्रणाली का समाधान (कुल) लाइन जो चौराहे पी 'और पी' के बिंदु के रूप में कार्य करेगा पर अंक में से प्रत्येक के निर्देशांक निर्धारित करेंगे, और एक प्रणाली Oxyz (आयताकार) अंतरिक्ष समन्वय में एक लाइन का निर्धारण है।